共焦二次曲面

共焦二次曲面(confocal quadrics)是一類特殊的二次曲面，以原點為中心的一族二次曲面。其中每兩個不同族的曲面的交線在這兩個曲面上都是曲率線。

基本介紹

• 中文名：共焦二次曲面
• 外文名：Confocal quadrics
• 學科：數學
• 屬性：二次曲面
• 性質：表面正交
• 相關名詞：二次曲面
• 定義：一類特殊的二次曲面

簡介

共焦二次曲面的想法來源於在三維空間中將適形圓錐截面的概念正式擴展到四元組：

用a> b> c> 0描述三個實數a，b，c。方程

（1）如果，則為橢圓體，

（2）如果（概述圖中為藍色），則為一張雙曲面，

（3）如果，則是兩張雙曲面。

（4）對於，沒有解。

（在這種情況下，參數c不是橢圓的線偏心！）

類似於共焦橢圓/雙曲線的情況有：

任何在上且滿足的點正好位於三種類型的共焦二次曲面的表面上。

通過點的三個二次曲面正交相交。

證明三個二次曲面的存在性和唯一性

對於的點，讓

該函式具有三個垂直漸近線並且是在開區間上連續和單調增加的函式。

從趨近其垂直漸近線的函式的行為和從找到：

函式f正好3個零點滿足。

表面正交性證明

使用函式

使用參數，並且令可以描述共焦二次曲面。

對於任何兩個相交的二次曲面，，，就能得到共同點。

從這個方程可以得到梯度的標量在同一個點：

這證明了正交性。

套用

由於查爾斯·杜賓（Charles Dupin）在三重正交表面系統的定理，以下聲明是真實的：

（1）任何兩個共聚焦像的交點曲線是曲線。

（2）類似於平面橢圓坐標存在橢圓坐標。

（3）在物理學中，共焦橢圓體表現為等電位面：

（4）帶電橢球的等勢面是其共焦橢圓體。