共焦二次曲面族

共焦二次曲面族是一個有重要意義的二次曲面族。在空間直角坐標系中，由方程線x²/(a-λ)+y²/(b-λ)+z²/(c-λ)=1表示的一族有心二次曲面稱為共焦二次曲面族。其中a>b>c>0，λ為參數，當λ∈(-∞，c)時，表示橢球面；當λ∈(c，b)時，表示單葉雙曲面；當λ∈(b，a)時，表示雙葉雙曲面；作為極限情況的橢圓和雙曲線稱為這族二次曲面的焦點二次曲線(焦橢圓和焦雙曲線)。共焦二次曲面族構成正交系，這就是說：過空間各點(x，y，z)(≠0)必有族中的三個曲面，它們分別是單葉雙曲面，雙葉雙曲面和橢球面，而且它們在這點兩兩正交。

基本介紹

• 中文名：共焦二次曲面族
• 外文名：family of confocal quadric surface
• 屬性：有重要意義的二次曲面族
• 分類：橢球面、單葉雙曲面等
• 別稱：共焦族

基礎知識

設是空間的點的直角坐標，由方程

表達的二次曲面族稱為共焦二次曲面族，也稱共焦族，其中參變數取至的實值，因此，我們對必須區分如下：

1．當介於與之間時，上列方程表示橢球；

2．當介於與之間時，上列方程表示單葉雙曲面；

3．當介於與之間時，上列方程表示雙葉雙曲面；

4．當介於與之間時，上列方程表示虛曲面。

橢球

現在我們將闡明共焦曲面族的一個明晰的表示，而且首先從橢球著手，它的三個半軸之長顯然是

這個橢球族是由一個作為的極限的無限大球和一個作為的極限的橢圓板(它的半軸等於和)所圍成的，這塊板的境界線稱為這族的焦橢圓；它落在平面上(參看圖1，其中焦橢圓的二焦點是)。另外，這個橢球族的形成是這樣：族中的所有橢球都圍繞著焦橢圓，而且一個套著一個地，均勻地奔向無限遠，容易看出，這些橢球恰恰一度填滿整個空間。

圖1

單葉雙曲面族

其次，讓我們討論在與之間取值的情況，這時所得到的是以為半軸的單葉雙曲面族，最後的半軸長當然是虛數，就是說：所用坐標系的“垂直軸”與雙曲面不相交。

圖2

這個雙曲面族一方是由一個作為時的極限的雙曲面塊所圍成，後者並充滿著焦橢圓的外部；另一方是由一條作為時的極限的焦雙曲線外部所構成，就是圖2中附上陰影線部分，這條雙曲線落在平面上而且具有下列方程：

在上列兩極限位置之間充滿著其餘的單葉雙曲面，使其全體圍繞著焦雙曲線而被焦橢圓所局限著。

雙葉雙曲面族

最後，我們還要觀察雙葉雙曲面族，各曲面的實軸重合於軸，這族圍成平面中，如圖3所示的焦雙曲線內部的陰影部分，作為在時的極限情況，但是當時的第二極限情況是作為雙重計算的平面，在其上已不存在焦曲線，因為方程

表示的是虛曲線之故。

此外，雙葉雙曲面族也是恰恰一度地充滿著整個空間，而實際上是這樣：一個外殼總是圍繞著焦雙曲線的右支，而且另一個外殼則圍繞著左支。

我們在這裡表面上探討了三個截然分開的二次曲面族，但這僅僅是表面的，因為從高觀點看，可取複數值，而由此得出唯一的單連通曲面系，其中包含著上述的三個曲面族，作為它的實的子族。