二十世紀30年代,克拉茨還在上大學的時候,受到一些著名的數學家影響,對於數論函式發生了興趣,為此研究了有關函式的疊代問題.50年代開始,在國際數學界廣泛流行著這樣一個奇怪有趣的數學問題:任意給定一個自然數x,如果是偶數,則變換成x/2,如果是奇數,則變換成3x+1.此後,再對得數繼續進行上述變換.
計算公式,結論,
計算公式
50年代開始,在國際數學界廣泛流行著這樣一個奇怪有趣的數學問題:任意給定一個自然數x,如果是偶數,則變換成x/2,如果是奇數,則變換成3x+1.此後,再對得數繼續進行上述變換.例如x=52,可以陸續得出26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1.如果再做下去就得到循環:
(4,2,1).再試其他的自然數也會得出相同的結果.這個叫做敘古拉猜想.
上述變換,實際上是進行下列函式的疊代
{ x/2 (x是偶數)
C(x)=
3x+1 (x是奇數)
問題是,從任意一個自然數開始,經過有限次函式C疊代,能否最終得到循環(4,2,1),或者等價地說,最終得到1?據說克拉茨(L.Collatz)在1950年召開的一次國際數學家大會上談起過,因而許多人稱之為克拉茨問題.但是後來也有許多人獨立地發現過同一個問題,所以,從此以後也許為了避免引起問題的歸屬爭議,許多文獻稱之為3x+1問題.
克拉茨問題吸引人之處在於C疊代過程中一旦出現2的冪,問題就解決了,而2的冪有無窮多個,人們認為只要疊代過程持續足夠長,必定會碰到一個2的冪使問題以肯定形式得到解決.正是這種信念使得問題每到一處,便在那裡掀起一股"3x+1問題"狂熱,不論是大學還是研究機構都不同程度地捲入這一問題.許多數學家開始懸賞征解,有的500美元,有的1000英鎊.
日本東京大學的米田信夫已經對240大約是11000億以下的自然數做了檢驗.1992年李文斯(G.T.Leavens)和弗穆蘭(M.Vermeulen)已經對5.6*1013的自然數進行了驗證,均未發現反例.題意如此清晰,明了,簡單,連小學生都能看懂的問題,卻難到了20世紀許多大數學家.著名學者蓋伊(R.K.Guy)在介紹這一世界難題的時候,竟然冠以"不要試圖去解決這些問題"為標題.經過幾十年的探索與研究,人們似乎接受了大數學家厄特希(P.Erdos)的說法:"數學還沒有成熟到足以解決這樣的問題!"有人提議將3x+1問題作為下一個費爾馬問題.
下面是我對克拉茨問題的初步研究結果,只是發現了一點點規律,距離解決還很遙遠.
克拉茨命題:設 n∈N,並且
f(n)= n/2 (如果n是偶數) 或者 3n+1 (如果n是奇數)
現用f1(n)表示f(n),f2(n)=f(f(n)),...fk(n)=f(f(...f(n)...)).
則存在有限正整數m∈N,使得fm(n)=1.(以下稱n/2為偶變換,3n+1為奇變換,並且稱先奇變換再偶變換為全變換)
克拉茨命題的證明
引理一:若n=2m,則fm(n)=1 (m∈N)
證明:當m=1時,f(n)=f(2)=2/2=1,命題成立,設當m=k時成立,則當m=k+1時,fk+1(n)=f(fk(2k+1))=
=f(2)=2/2=1.證畢.
引理二:若n=1+4+42+43+...+4k=(4k+1-1)/(4-1) (k∈N),則有f(n)=3n+1=4k+1=22k+2,從而f2k+3(n)=1.
證明:證明是顯然的,省略.
引理三:若n=2m(4k+1-1)/(4-1) (m∈N), 則有fm+2k+3(n)=1.
證明:省略.
定理一:集合 O={X|X=2k-1,k∈N} 對於變換f(X)是封閉的.
證明:對於任意自然數n,若n=2m,則fm(n)=1,對於n=2k,經過若干次偶變換,必然要變成奇數,所以我們以下之考慮奇數的情形,即集合O的情形.對於奇數,首先要進行奇變換,伴隨而來的必然是偶變換,所以對於奇數,肯定要進行一次全變換.為了直觀起見,我們將奇數列及其全變換排列如下:
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51
0 2k-1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101
1 3k-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80 83 86 89 92 95 98 101 104 107 110 113 116 119 122 125 128 131 134 137 140 143 146 149 152
2 3k-2 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76
3 3k-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38
4 3k-2 1 4 7 10 13 16 19
5 3k-1 2 5 8
6 3k-2 1 4
7 3k-1 2
8 3k-2 1
第一行(2k-1)經過全變換(3(2k-1)+1)/2=3k-1變成第二行,實際上等於第一行加上一個k,其中的奇數5,11,...6k-1又回到了第一行.以下各行是等差數列3k-2,3k-1交錯排列.由於最終都變成了奇數,所以集合O對於變換f(X)是封閉的.
定理二:任何奇自然數經過若干次變換都會變成1.
證明:
我們看到 奇數經過全變換變成為3k-1型數,3k-1型奇數經過全變換有一半仍然變成3k-1型奇數,而另一半3k-1型偶數經過除以2有一半變成為3k-2型奇數,而3k-2型奇數經過全變換又變成為3k-1型數.換句話說不可能經過全變換得到3k-2型數.
下面我們只研究奇數經過全變換的性質,因為對於其他偶數經過若干次偶變換,仍然要回到奇數的行列里來.
我們首先證明奇數經過若干次全變換必然會在某一步變成偶數.
設2a0-1是我們要研究的奇數,它經過全變換變成3a0-1,假設它是一個奇數並且等於2a1-1,2a1-1又經過全變換變成為3a1-1=2a2-1,3a2-1=2a3-1,...3ak-1-1=2ak-1,所以a1=(3/2)a0,a2=(3/2)a1,...ak=(3/2)ak-1.
所以最後ak=(3/2)ka0,要使ak是整數,可令a0=2kn,(n是奇數).於是ak=3kn.則從2a0-1經過若干次全變換過程如下:
2k+1n-1 -> 3*2kn-1 -> 32*2k-1n-1 -> 33*2k-2n-1 ->... -> 3k+1n-1 (偶數).
然後我們證明經過全變換變成偶數的奇數一定大於該偶數經過若干偶變換之後得到的奇數.
設3k+1n-1=2mh (h為奇數),我們要證明 h<2*3kn-1:
h=(2*3kn-1+3kn)/2m<2*3kn-1,令a=3kn,b=2m-1,則有 2ab>a+b,而這是顯然的.
定義:以下我們將稱呼上述的連續全變換緊接著連續的偶變換的從奇數到另外一個奇數的過程為一個變換鏈.
接著我們證明奇數經過一個變換鏈所得的奇數不可能是變換鏈中的任何中間結果,包括第一個奇數.
若以B(n)表示奇數n的變換次數,m是n經過變換首次遇到的其他奇數,則有
定理三:B(n)=k+1+B(m),其中k是滿足3n+1=2km的非負整數.
證明:n經過一次奇變換,再經過k次偶變換變成奇數m,得證.
舉例來說,B(15)=2+B(23)=2+2+B(35)=2+2+2+B(53)=2+2+2+5+1+B(5)=2+2+2+5+1+5=17
結論
二十世紀30年代,克拉茨還在上大學的時候,受到一些著名的數學家影響,對於數論函式發生了興趣,為此研究了有關函式的疊代問題.
在1932年7月1日的筆記本中,他研究了這樣一個函式:
F(x)= 2x/3 （如果x被3整除 或者 (4x-1)/3 （如果x被3除餘1）或者 (4x+1)/3 （如果x被3除餘2）
則F(1)=1,F(2)=3,F(3)=2,F(4)=5,F(5)=7,F(6)=4,F(7)=9,F(8)=11,F(9)=6,...為了便於觀察上述疊代結果,我們將它們寫成置換的形式:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...
1 3 2 5 7 4 9 11 6 ...
由此觀察到:對於x=2,3的F疊代產生循環(2,3)
對於x=4,5,6,7,9的F疊代產生循環(5,7,9,6,4).
接下來就是對x=8進行疊代,克拉茨在這裡遇到了困難,他不能確知,這個疊代是否會形成循環,也不知道對全體自然數做疊代除了得到上述兩個循環之外,是否還會產生其他循環.後人將這個問題稱為原始克拉茨問題.如今人們更感興趣的是它的逆問題:
G(x)= 3x/2 （如果x是偶數）或者 (3x+1)/4 （如果x被4除餘1）或者 (3x-1)/4 （如果x被4除餘3）
不難證明,G(x)恰是原始克拉茨函式F(x)的反函式.對於任何正整數x做G疊代,會有什麼樣的結果呢?
經計算,已經得到下列四個循環:
(1),(2,3),(4,6,9,7,5),(44,66,99,74,111,83,62,93,70,105,79,59).
因為G疊代與F疊代是互逆的,由此知道,F疊代還應有循環(59,79,105,70,93,62,83,111,74,99,66,44).
G疊代還能有別的循環嗎?為了找到別的循環,人們想到了下面的巧妙方法:
由於G疊代使後項是前項的3/2(當前項是偶數時)或近似的3/4(當前項是奇數).如果G疊代中出現循環,比如疊代的第t項at與第s項as重複(t<s):at=as.但
as/as-1,as-1/as-2,...at+1/at
或等於3/2,或者近似於3/22,因而
1=as/at=as/as-1*as-1/as-2*...at+1/at≈3m/2n
這裡 m=s-t,m < n
即 2n≈3m
log22n≈log23m
故 n/m≈log23
這就是說,為了尋找出有重複的項(即有循環),應求出log23的漸進分數n/m,且m可能是一個循環所包含的數的個數,即循環的長度.
log23展開成連分數後,可得到下列緊缺度不同的漸進分數:
log23≈2/1,3/2,8/5,19/12,65/41,84/53,485/306,1054/665,24727/15601,...
漸進分數2/1表明,31≈22,循環長度應為1.實際上恰存在長度為1的循環(1).
漸進分數3/2表明,32≈23,循環長度應為2.實際上恰存在長度為2的循環(2,3).
漸進分數8/5表明,35≈28,循環長度應為5.實際上恰存在長度為5的循環(4,6,9,7,5).
漸進分數19/12表明,312≈219,循環長度應為12,實際上恰存在長度為12的循環(44,66,...59).
這四個漸進分數的分母與實際存在的循環長度的一致性,給了人們一些啟發與信心,促使人們繼續考慮:是否存在長度為41,53,306,665,15601,...的循環?令人遺憾的是,已經證明長度是41,53,306的循環肯定不存在,那么,是否會有長度為665,15601,...的循環呢?
F疊代與G疊代究竟能有哪些循環呢?人們正在努力探索中!
