倒向隨機微分方程下的運算元表示及Jensen不等式

【摘要】：在對隨機最優控制問題的研究過程中,Bismut於1973年首次提出了線性的倒向隨機微分方程(簡稱BSDE)。然而直到1990年Pardoux-Peng[90]給出了一般形式的倒向隨機微分方程,並證明了其解的存在唯一性,倒向隨機微方程才在理論及套用方面取得了迅速發展。 BSDE的一般形式如下：其中(?)表示終端隨機變數,T0是固定的終端時刻,(Wt)t∈[0,T]表示d-維布朗運動,g是該BSDE的生成元。求BSDE的解是對固定的(?),T,g,求一對適應過程(Y.,Z.)使得上式成立。Pardoux-Peng[90]給出的假設是9關於y,z李普希茲連續,此後有很多研究致力於將該條件弱化,如改為局部李普希茲條件(Bahlali[1]等),連續性條件(Lepeltier-San Martin [73],Matoussi[80]等),一致連續性條件(Jia[53,56],Fan-Jiang[36],Hamadene[39]等),關於z平方增長(Kobylanski[68], Briand-Hu[9,10],Tevzadze[117], Briand-Elie[7], Dclbaen-Hu-Richou[23],Richou[104]等),關於z超平方增長(Delbaen-Hu-Bao[22], Richou[104]等),關於y多項式增長(Briand-Carmona[4]等),關於y超線性增長,關於z平方增長(Kobylanski-Lepeltier-Quenez-Torres[69]等),不連續(Jia[52],N'zi-Owo[83], Halidias-Kloeden[38]等)以及一些其他的條件(Royer[107]等)。另外,也出現了多種形式的BSDE,比如,帶反射的、正倒向耦合的、驅動為相互獨立的布朗運動與泊松跳過程,或者更一般的1evy過程、甚至一般的鞅等等,相關文獻如,Tang-Li[116],Situ[112,113], Yin-Situ[121],Ouknine[85],Essaky-Ouknine-Harraj[35],Ren-Otmani[103],Morlais[81], Lejay[72],Bahlali-Essaky[2],Hamadene-Ouknine[40],Hassani-Ouknine[41],Essaky[33]等。另一個分支是對BSDE解的性質的研究,比如比較定理、逆比較定理、凸性、平移不變性等等,如Pcng[97,100]引入的g-期望的概念及其性質,參考文獻如Briand-Coquet-Hu-Memin-Peng[6],Coquet-Hu-Memin-Peng[19],Jiang[64,65,66],Hu-Tang[48],Hu-Peng[47],Royer[108],Jia-Peng[58],Jia[55]等。BSDE在很多重要領域得到了套用,如經濟、控制、金融等領域,具體說來,如隨機最優控制、博弈理論、數理金融等等。相關文獻如Peng[96,98],Wu-Yu[120],Chen-Li-Zhou[16],Liu-Pcng[76],Kohlmanm-Zhou[70],chen-Epstein[14]等。BSDE的另一方面重要套用是,提供了若干類二階偏微分方程的機率解釋,也即非線性Feynman-Kac公式,具體可參見Peng[94],Peng[98],Pardoux-Peng[91],E1Karoui[30],Barles-Buckdahn-Pardoux[3],Buckdahn-Hu[12],Briand-Hu[8],El Karoui-Kapoudjian-Pardoux-Peng-Qucnez[31],Pardoux[87],Padoux-Tang[93],Kobylanski[68], El Karoui-Peng-Quenez[32],N'zi-Ouknine-Sulem[82]等。為敘述方便,我們將方程(1)記為(g,T,ξ),其解記為(Ytg,T,ξ,Ztg,τξ)t∈[0,T]另外將Ytg,T,ξ記為Et,τg[ξ]。假設對任意(y,z)∈R×Rd,g(·,y,z)是平方可積的。Tr[·]表示對稱矩陣的跡。Gi表示矩陣G的第i行。下面是本文的章節目錄：一、第一章引言；二、第二章一致連續係數BSDE對二階隨機微分運算元的不變表示及其在非線性半群上的套用；三、第三章平方增長g-凸函式,C-凸函式及其相關關係；四、第四章由帶跳的BSDE的解來表示的隨機積分-微分運算元及f-凸函式的性質；五、第五章關於容度的幾個性質的新證明。第二章證明了一類二階隨機微分運算元可以表示為—(?)(?)FBSDE的解的極限,其中倒向方程的生成元只需一致連續；由非耦合的正倒向方程定義非線性半群,其無窮小生成元就是如上表示的二階隨機微分運算元;證明了非線性半群的單調性與保序性；證明了耦合的FBSDE的一個比較性質。 (本章內容主要來自兩篇文章Jia-Zhang[60],Zhang-Jia[123]) 在本章中,我們總假設SDE是n維的,BSDE是1維的。在g關於(y,z)一致連續且線性增長的條件下,Lepeltier-San Martin[73]證明了方程的解的存在性,然而解未必是唯一的,Jia-Peng[57]證明了此時解或者唯一或者有不可數多個,不唯一的例子,如g(y)=(?)|y|,T=1,ξ=0時,方程((?)|y|,1,0)的解就有無窮多個。本章第一個結論說明,不論解是否唯一,我們總是可以拿來與SDE的解一起,共同表示一類二階隨機微分運算元。首先引入下列關於SDE的假設。假設b：Ω×[0,T]×Rn→Rn,σ：Ω×[0,T]×Rn→Rn×d是滿足下列條件的函式： (一致李普希茲條件)：|b(t,x1)-b(t,x2)|+|σ(t,x1)-σ(t,x2)|≤Kb|x1-x2|,(?)x1,x2∈Rn： (線性增長條件)：|6(t,x)|+|σ(t,x)|≤Kb(1+|x|),(?)x∈Rn；其中Kb0為一個常數。為簡單起見,我們記此條件為正向的標準李普希茲條件,以區分9滿足的標準李普希茲條件(即,g關於y,z一致李普希茲連續)。設(Xst,x)s∈[0,T]為下列SDE的強解其具體內容如下定理2.2.1(表示定理Ⅰ)令g滿足一致連續性條件,且關於t連續,6,σ滿足以上假設且關於t連續。若φ∈C1,2([0,T]×Rn)且φ本身及其各階導數關於x至多多項式增長,那么對每個x∈Rn,t∈[0,T),如下式子成立其中注意到此結論中解的選取是任意的。由此可以得到g在此條件下的一個逆比較定理以及一些BSDE的解的性質與生成元的性質之間的等價對應關係,比如,線性性、保常性。接下來我們根據正倒向方程定義了兩種非線性半群,這兩種非線性半群是對由馬爾科夫擴散過程生成的馬氏半群的一種推廣,馬氏半群是給擴散過程取線性期望得到的,而此處的半群是對擴散過程取非線性期望(g-期望)得到的。上面的表示定理Ⅰ恰好給出了這兩種半群的無窮小生成元。在定義半群時,我們首先假定6,σ只依賴於x且關於x李普希茲連續,9隻依賴於(y,z),故終端時刻T可以取值為任意正數。記H為Rn→R中至多多項式增長的連續函式的全體,Hb為Rn→R中有界一致連續函式的全體。根據g滿足條件的不同,分為如下兩種定義方式：首先,當g關於(y,z)滿足李普希茲條件時,通過εtf(x)：=y0g,t,f(Xt0,x)在H上定義族運算元{εt；t≥0},並定義運算(εt(?)εs)f=εt(εsf)。則有εt(?)εs=εs(?)εt=εt+s。故{(εt)t≥0;(?)}構成一個交換半群。其次,當g關於(y,z)一致連續,b,σ有界時,類似於Ma-Zhang2011年的文章[77],可以如下定義“節點集”0(t,x,f,s), (?)(t,x,f.s)：={y：存在一個解y.g,s,f(Xst,x)滿足ytg,s,f(Xst,y},其中f∈Hb。Ma-Zhang還證明了(?)(t,x,f,s)是一個有界區間,分別以u(t,x,f,s)和u(t,x,f,s)記其上界和下界,則有定義εt,sf(x)：=u(t,x,f,s)和εt,sf(x)：=u(t,x,f,s)。由於此時我們假設的g,b,σ都獨立於時間t,故εt,sf(x)≡ε0,s-tf(x),可以簡記εtf(x)=ε0,tf(x)。類似的,有εtf(x)=ε0,tf(x)=εr,t+τ f(x),對任意r≥0,t≥0。對固定t,εtf(x)和εtf(x)都是有界的一致連續函式,即屬於Hb.同李普希茲情形,我們可以在兩種運算元上分別定義運算“。”,可以推出{(εt)t≥0；(?)}和{(εt)t≥0；(?)}都構成非線性半群。由此可以看出,當9隻是一致連續時,無窮小生成元與半群並不能完全一一對應,此時,可能有多個半群對應於同一個無窮小生成元。有了以上的半群,我們下一問題著重討論了當g滿足李普希茲條件時半群的單調性質和比較性質。實際上,Herbst-Pitt[43]和Chen-Wang[17]證明了馬氏半群單調的充要條件,以及兩個馬氏半群可以比較的充要條件。但是,他們的證明強烈依賴於馬氏半群的線性性,所用的方法不能直接拿來用,所以為了得到這些結果,我們需要另闢蹊徑。首先引入下面定義。定義2.5.1令“≤”表示Rn中通常的半序。 (i).我們稱一個定義在腫中取值於R的可測函式f是單調的,如果f(x)≤.f(x)對所有x≤x.我們以M來表示至多多項式增長的連續單調函式的集合。顯然M(?)H。 (ii).對兩個半群{εt}t≥0和{εt}t≥0,我們稱εt≥εt,如果對所有f∈M,以及所有x≥x和t≥0,有εtf(x)≥εtf(x).另外,如果εt=εt,我們稱εt單調。我們證明了下面的兩個定理成立。定理2.5.1假定6,σ只依賴於x且關於x李普希茲連續,9隻依賴於(y,z),且關於(y,z)李普希茲連續。則定義在H上的εt是單調的,若且唯若： (2C1-i).對任意的i=1,...,n,若是x,x∈Rn,xi=xi,且對任意k≠i,xk≥xk,有bi(x)-bi(x)≥0成立； (2C1-ii).對所有i=1,...,n,σ的第i行只依賴於xi。由此定理,我們發現εt的單調性與g無關。定理2.5.3假定n=d,假定6,σ,b,廳只依賴於x且關於x李普希茲連續,g,g只依賴於(y,z),且關於(y,z)李普希茲連續。σσ*(或者σσ*)是一致正定的,且b,b,σ,廳都有界。如果εt或者εt是單調的,那么εt≥εt若且唯若 (2C3-i)σσ*≡σσ*並且σ和σ的第i行均只依賴於xi； (2C3-ii)對所有x∈Rn,y∈R,K∈Rn且K≥0, 注意到第二個定理首次將SDE的漂移項係數與BSDE的生成元結合起來作為一個整體進行比較。由於半群對應唯一確定的PDE,如上的單調性定理以及保序性定理實際上可以轉化成二階擬線性拋物方程的單調性與保序性。在證明的過程中,我們還可以看到,在李普希茲條件下,半群對應唯一確定的PDE,但是未必對應唯一確定的正倒向方程。特別的,取g,g：Rd→R,kj,pj,kj,pj∈R,(?)j=1,...,d。我們有以下結果。定理2.5.4設b,σ,b,廳只依賴於x且關於x李普希茲連續,且條件(2C1-i)和(2C1-ii)對b,σ和b,廳成立,(σ)n×d的同一列中的元素符號相同,其符號可隨x的不同而不同,σ的符號也具有這種性質。。那么εt≥εt若且唯若(2C3-i)和(2C3-ii)成立。此處(2C3-ii)意味著對任意i,只要x≥x,xi=xi, 這個結果不能被定理2.5.3所涵蓋,因為此時我們並不假定n=d,以及σσ*一致正定。根據這個定理,我們可以將一類特殊的二階擬線性拋物PDE部分的轉化成二階線性PDE。注2.5.8考慮以下二階擬線性PDE：其係數的條件同定理2.5.4,則我們有如下結論：如果f是至多多項式增長的非降連續函式,那么上述PDE等價於如果f是至多多項式增長的非增連續函式,以上PDE等價於本章最後一個結果,受到半群保序性定理證明方法的啟發,得到一類新的FBSDE的比較定理。該定理同樣將SDE的漂移項係數和BSDE的生成元結合起來,據我們所知,在FBSDE的比較定理中,這是首例。首先我們所考慮FBSDE如下此處(Xt,Yt,Zt,Wt)∈Rn×R×Rd×Rd,b,σ,g和f都具有相應的維數。以下是關於此定理的假設(主要來自[77])：係數(b,σ,g,f)可測且有界；σσ*一致正定；b,σ,g,f光滑且一二階導數有界。定理2.6.1假定bi,σi,gi,jfi(i=1,2)滿足如上條件。設這兩對FBSDE的初值分別為x1,x2,記其解為(Xi,yi,Zi)。如果 (i)σ1(σ1)‘三σ2(σ2)*, (ii)對任意t∈[0,T],x∈Rn：y∈R,p∈Rn, (iii)f1≥f2, (iv)x1=x2, 那么Y01≥Y02。第三章證明了平方增長的倒向隨機微分方程的表示定理；得到了一個函式滿足平方增長g-期望下的Jensen不等式的充要條件；基於常數C定義了一類C-仿射函式,並以此定義了C-凸和C-凹；證明了C-凸(凹)函式的類似於普通凸(凹)函式的性質；研究了這類C-凸(凹,仿射)函式與平方增長g-凸(凹,仿射)函式之間的相互關係。 (本章主要內容來自Jia-Zhang[63]) 經典的數學期望下的Jensen不等式是現代機率論中的一個基本的不等式。在g滿足標準李普希茲條件時,Jia-Peng [58]於2010年,首次將滿足g-期望下的Jensen不等式的函式定義為“凸函式”,提出了g-凸的概念,即：一個函式h稱為g-凸(凹)函式,如果對任意FT可測平方可積且使h(X)平方可積的隨機變數X,以及任意t∈[0,T],Et,Tg[h(x)]≥(相應地,≤)h(Et,Tg[X]).如果h既是g-凸函式又是g-凹函式,則稱為g-仿射函式。Jia-Peng還給出了一個光滑函式h是g-凸函式的一個簡單的充要條件,即,Lgt,y,zh≥0,其中而一般的多項式增長的連續函式h是9-凸函式的充要條件是,h是下列方程的粘性下解：關於粘性解的概念,讀者可參考[20]等。關於這種g-凸函式的性質,一個很重要的結果是在.g滿足標準李普希茲條件時,g-凸函式一定是通常意義下的凸函式。本章的主要內容是考慮平方增長條件下g-凸函式的性質。自Kobylanski在2000年的文章[68]中引入平方增長BSDE以來,平方增長的BSDE已經得到了比較好的研究。然而,就我們所知,除了Ma-Yao[78]給出了一個條件比較強的關於生成元的表示定理以及一個簡單的Jensen不等式的結論外,再沒有其它人涉獵平方增長條件下的表示定理以及Jensen不等式。本章將對這些問題進行深入探討。本章的核心結果是,證明9-凸函式應該滿足的充要條件。在此證明中遇到了困難,主要原因是終端條件有界的要求與證明過程中引入的正向方程的解通常無界之間的矛盾。為解決此問題,我們引入停時以及可選停時定理等,停時的靈活運用成為這個證明過程的關鍵,也貫穿了整個證明過程的始終。最讓我們感興趣的是,此時的g-凸函式已經不再是通常意義下的凸函式了。為此,根據一個比較簡單的依賴於常數C的ODE,我們將其解(通常不是直線)定義為新的“仿射函式”,稱為C-仿射函式,並用類似於普通凸的方法定義了C-凸函式。這個函式體系有非常好的基本類似於通常凸的性質。比如C-凸函式具有連續性,擬凸性,以及可以表示為一族C-仿射函式的上包絡等。值得一提的是,若是C=0,此時的0-凸框架恰好對應於通常的凸的框架。這類C-凸函式對於平方增長g-凸的意義,一如凸函式對於李普希茲條件下g-凸的意義。本章中我們對9作如下假設：存在兩個常數Ky0和Kz0使得,A(t,y,z,y’,z,), g(·,0,0)一致有界。為簡單起見,稱此假設為標準平方增長條件。首先,如前,我們證明了g滿足標準平方增長條件時,帶有停時的表示定理成立。定理3.3.1令9滿足標準平方增長條件,b,σ滿足正向的標準李普希茲條件。另外假設g,b,σ都關於t連續。設φ∈C1,2(R+×Rn),那么對每個(tnx)∈[0,T)×Rn,下面的極限成立其中Lg,b,σt,x的定義如前所述,ε要求充分小,Τε=ΤΛ(t+ε),Τ是一個使得X.t,x在[t,τ]上有界的停時。例如,(K0是一個正數且充分大)。接下來關於g-凸的研究,我們總假設g(t,y,0)≡0,且g滿足標準平方增長條件。首先,有如下9-凸函式的定義。定義3.4.1一個函式h：R→R被稱為終端有界條件下的g-凸(相應地,g-凹)函式,如果對每個X∈L∞(FT),有,對任意t∈[0,T], h(Etg,T[X])≤Et,Tg[h(X)].(相應地,h(Et,Tg[X])≥Et,Tg[h(X)])P-a.s.h被稱為g-仿射如果它既是g-凸又是g-凹。注意到終端的有界性,我們可以定義凸集上的g-凸函式,這對後面我們研究這一類g-凸函式提供了很大的方便。定義3.4.3(凸集上的g-凸性)假定(?)是R上的一個凸集。對一個固定Eg[·],實值函式h被稱為0上的g-凸(相應地,g-凹)函式,如果對每個X∈L∞(FT)使得Es,Tg[X](ω)∈(?),dPdt-a.s.我們有(相應地,h(Et,Tg[X])≥Et,Tg[h(X)])P-α.s,t∈[0,T].h被稱為(?)上的g-仿射函式如果它既是(?)上的g-凸函式又是(?)上的g-凹函式。下面兩個定理是本章的主要結果。定理3.4.1令h∈C2(R),那么以下兩個敘述等價： (Ⅰ)h是終端有界條件下的9-凸函式(相應地,g-凹函式)； (Ⅱ)對每個y∈R,z∈Rd,Lgt,y,zh≥0(相應地,≤0)dPdt-a.s. 定理3.4.2假定g獨立於ω且關於t連續。h是一個連續函式。以下論斷等價： (Ⅰ)對每個(t,z)∈[0,T]×Rd,h是Lgt,y,zh=0的粘性下解； (Ⅱ)h是終端有界條件下的g-凸函式。下面取一類g進行仔細研究：g=C|z|2+g1(t,y,z),其中如果C三0,任意9-凸函式是通常意義下的凸函式,g-仿射函式恰好是所有的線性函式。我們設C≠0,取φ∈C2(R)是一個g-仿射函式,則有解以上ODE,以Ⅱc來表示所有解的集合：,或φ(x)=x+b,或φ(x)=b,Aa,b∈R}.我們定義這類函式為C-仿射函式,通過這類函式,類似於普通凸函式的定義,得到了如下C-凸函式：定義3.6.1(C-凸函式)定義在凸集D上的函式f稱為C-凸函式,如果對任意φ∈Πc與f相交於兩點x1,x2(不妨設x1x2),f(x)≤φ(x),Ax∈(x1,x2). 如上定義的C-凸函式有很多很好的性質,比如擬凸性,連續性,幾乎處處可導,且在各個點的左右導數都存在,左導數不大於右導數等等。此外,我們還定義了C-凸集。定義3.6.7(R2中的C-凸集)一個集合A(?)R2被稱為一個C-凸集,如果對任意兩個點(x1,y1),(x2,y2)∈A,x1x2,如果φ∈Ⅱc穿過這兩點,那么φ(x)∈A對任意x∈(x1,x2)成立。關於f的上水平集epif={(x,y)：f(x)y},有如下結果。命題3.6.9如果f是一個C-凸函式,epif是一個C-凸集。另一方面,如果epif是一個C-凸集,那么f是一個C-凸函式。 C-凸函式還有如下重要性質。定理3.6.2以及定理3.6.4任意C-凸函式可以表示為一族C-仿射函式的上包絡,反之,任意一族C-仿射函式的上包絡都是C-凸函式。接著,我們討論了C-凸函式與g-凸函式之間的關係。首先,特定的一族函式g,C-凸函式與與g-凸函式一一對應,具體如下。定理3.6.5任意C-凸函式是一個9-凸函式,其中g=C|z|2+G1z,(?)C1∈Rd。反之,設g=C|z|2+C1,z,(?)C1∈Rd,那么任意定義在D上的9-凸函式是定義在D一個C-凸函式。另外,對更一般的g,如下結果成立。定理3.6.6假定g=C|z|2+g1(t,y,z),其中C∈R,於是任意9-凸(相應地,凹,仿射)函式是C-凸(相應地,凹,仿射)函式。最後的兩個定理,是關於9-凸函式與9-凸函式或g-仿射函式之間的關係。定理3.6.7假定Ⅰ是一個指標集,{fi：i∈Ⅰ}是g-凸函式的一個集合。那么f(x)=sup{fi(x)：i∈Ⅰ}也是一個g-凸函式。定理3.6.8假定其中C∈R,則光滑的g-凸函式h可表示為一族g-仿射函式的上包絡的必要條件是,對任意(t,y,z)成立。特別地,若C=0,且g獨立於y,則上述條件是充要條件。第四章由一列帶跳的正倒向隨機微分方程的解來表示二階隨機積分-微分運算元；得到了帶跳的BSDE的逆比較定理,以及解與生成元的一系列等價性質；證明了由帶跳的BSDE構成的f-期望的Jensen不等式。 (本章主要內容來自Jia-Zhang[61,62]) 本章中,我們將研究帶跳的BSDE的表示定理和Jensen不等式。假定信息流(Ft)t∈[0,T]是由相互獨立的d-維標準布朗運動(Wt)t∈[0,T]和定義在(R+×B)上的泊松隨機測度μ。首先,本章內假設b,σ滿足正向的標準李普希茲條件,f(ω,t,x,y,z,U)關於(y,z：U)致李普希茲連續,關於x至多多項式增長。對給定的(t,x)∈[0,T]×Rn,以X.t,x來表示以下SDE的解：並引入如下二階隨機積分-微分運算元：關於積分的含義,將在第四章正文中闡述。本章中我們將給出上述運算元由帶跳的正倒向方程的解的表示,以下是兩個主要結果。定理4.2.1(表示定理Ⅰ)假設f,b,σ關於t右連續。假設φ關於x有有界的三階導數,記其公共界為Kφ。令1≤p≤2。則對每個(t,x,U(·))∈[0,T)×Rn×L2(B,B*,λ；Rn),以下式子成立另一個結論用到停時,也放寬了對φ的要求。定理4.2.2(表示定理Ⅱ)假定生成元f,b,σ滿足定理4.2.1中的條件。令φ∈C2。則對每個1≤p≤2,和我們有其中τε：=τ(?)(t+ε),τ是一個停時,使得Xt,x在[t,τ]上有界,比如τ：=inf{st|Xst,x-x|N},ε充分小。上面定理中的L2(B,B*,λ；Rn)和L∞2(B,B*,λ；Rn)的意義在第四章有詳細介紹。由表示定理,我們得到了關於帶跳的BSDE的逆比較定理。定理4.3.1(逆比較定理Ⅰ)令f1,f2獨立於x,另外,設(?)(y,z,U),f1和f2都關於t∈[0,T)右連續,在Τ點連續,P-a.s.。對任意s∈[0,T],ξ∈L2(Fs),有則對任意(t,y,z,U(·))∈[0,T]×R×Rd×L2(B,B*,λ；R),有定理4.3.2(逆比較定理Ⅱ)令.f1和f2除滿足逆比較定理Ⅰ中所述條件外,還滿足f(t,y,0,0)三0.若對任意ξ∈L2(FT),則有假定.f獨立於x,且對任意(t,y)∈[0,T]×R,f(t,y,0,0)≡0。類似於g-期望,Royer[108]由帶跳的BSDE定義一類非線性期望f-期望。下面給出了f-凸函式的概念。定義4.4.2對一個給定的f-期望Ef[·],一個函式h：R→R被稱為f-凸(相應地,f-凹)函式,如果對每個X∈L2(FT),使得h(X)∈L2(FT),我們有(相應地,h被稱為f-仿射函式如果它既是f-凸函式又是f-凹函式。下面記定理4.4.1令f(t,y：z,U)關於(y,z,U)一致李普希茲連續且滿足比較定理成立的條件,並關於t連續,對任意t,y,f(t,y,0,0)三0且h∈C2(R)。則以下兩種敘述等價： (i).h是f-凸的(相應地,f-凹)； (ii).對每個t∈[0,T],y∈R,z∈Rd,U(·)∈L∞2(B,B*,λ；R),(相應地,≤0). 定理4.4.4令h∈C(R)至多多項式增長,.f(y,z,U)所需滿足的條件比定理4.4.1稍強(具體見原定理),則以下兩種敘述等價： (i).h是f-凸的(相應地,f-凹)； (ii).對每個z∈Rd,U(·)∈￡乙(B,B*,λ；R),h是Lft,y,z,Uφ=0的粘性下解。第五章用一種新的方法證明了幾個關於2-alternating容度的性質 (本章內容來自Jia-Zhang[59]) 設Ω是一個基本集合,召是Ω上的σ-代數。我們稱一個集函式c：B→[0,1]是一個容度如果它滿足： (C1).c(Ω)=1,c(Φ)=0； (C2)(單調性).對任意A(?)B,A,B∈B,c(A)≤c(B)。稱容度μ為2-alternating,如果對任意A,B∈召,μ(A(?)B)+μ(A∩B)≤μ(A)+μ(B)。稱容度v為2-monotone,如果對任意4,B∈B,μ(A∪B)+μ(A∩B)≥μ(A)+μ(B)。稱一個容度μ為機率測度,如果μ(A∪B)+μ(A∩B)=μ(A)+μ(B),我們以P來表示個機率測度。根據Dcnnicbcrg [26]和Jia[54],簡單推測可知如下結果成立。定理5.2.1任意機率測度是2-alternating容度集合的極小元。反之,任意2-alternating容度集合的極小元都是機率測度。定理5.2.2考慮空間(Ω,B)。B是Ω上的一個代數,且是一個有限集。c是定義在B上的一個2-alternating容度。取F1,...,Fn∈B使得F1(?)F2(?)...(?)Fn。則存在一個機率測度P,對任意i=1,...,n,P(Fi)=c(Fi)且P≤c。定理5.2.3考慮空間(Ω,B)。召是Ω上的一個代數,且是一個有限集。μ是定義在B上的一個2-alternating容度,v是定義在B上的一個2-monotone容度。則μ≥v意味著存在一個機率測度P,使得μ≥P≥v。 Denneberg和Jia對上述相近問題從期望的角度上進行了證明,套用的分別是Choquet-期望和一般的次線性期望。本章中我們將完全從容度的角度上來證明上述結果。證明過程的關鍵是通過B上的集合A對一個2-alternating容度c進行如下變換文中證明了cA仍然是一個2-alternating容度,且cA≤c。這種變換還具有很多其他的很好的性質。特別的,對後兩個定理的證明過程中,我們設計了一個循環程式,最終,通過構造的方法得出一個符合條件的機率測度。

倒向隨機微分方程下的運算元表示及Jensen不等式

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