修正的p-Laplacian方程的變分方法研究

《修正的p-Laplacian方程的變分方法研究》是周見文為項目負責人，雲南大學為依託單位的專項基金項目。

基本介紹

• 中文名：修正的p-Laplacian方程的變分方法研究
• 項目類別：專項基金項目
• 項目負責人：周見文
• 依託單位：雲南大學

項目摘要

本項目擬採用變分方法研究修正的p-Laplacian方程的駐波解的存在性和多解性。該類問題屬非局部問題，起源於一個有彈性細繩的自由振動模型，也常用於種群動力學系統中模擬動物種群的密度。不僅如此，其退化的局部形式亦出現於等離子物理和凝聚態理論的研究中。本項目首先將研究其變分結構。而由於其具有修正項和擬線性的原因，該類問題雖然在形式上有變分泛函，但我們在構造變分泛函時用的工作空間甚至不是線性空間，僅只是完備度量空間，傳統的極大極小方法和臨界點理論不適用於其研究。因此，我們將套用近年發展起來的完備度量空間上連續泛函的非光滑臨界點理論研究其非平凡（或非半平凡）弱解和多胞解的存在性和多解性，獲得修正的p-Laplacian方程的駐波解的存在性和多解性的一些充分條件，並對解做數值模擬，說明這些條件的合理性和廣泛性。

結題摘要

本項目按項目計畫書中所述的研究計畫和實施方案進行，已發表與本項目緊密相關的SCI論文2篇，按時完成本項目的考核目標。取得如下成果： (1)套用變分方法中的臨界點定理研究了一類具脈衝項的修正的p-Laplacian方程(p=2)的變號解的存在性和多解性。這類問題屬非局部問題，起源於一個有彈性細繩的自由振動模型，也常用於種群動力學系統中模擬動物種群的密度,其退化的局部形式亦出現於等離子物理和凝聚態理論的研究中。本項目首先選取sobolev空間，給出其等價範數，將該空間作為工作空間，構造一類具脈衝項的修正的p-Laplacian方程(p=2)對應的變分框架，證明該泛函的連續可微性，並說明其臨界點為所研究問題的弱解，實現了從尋求所研究問題的弱解到尋求該泛函的臨界點的轉化。然後套用變號臨界點定理獲得一類具脈衝項的修正的p-Laplacian方程(p=2)弱解的存在性和多解性的若干充分條件，並說明所得結果的有效性和實用性。這一研究既拓展了臨界點理論的套用範圍，又提供了一種研究具脈衝項的修正的p-Laplacian方程的新方法。 (2)本項目的合作者研究了與具脈衝項的修正的p-Laplacian方程密切相關的一類時標上具無窮分布時滯和模糊項的反應擴散BAM遞歸模糊神經網路。通過構造恰當的李雅普諾夫函式和時標上的sobolev空間中的嵌入不等式技巧，獲得時標上具無窮分布時滯和模糊項的反應擴散BAM遞歸模糊神經網路的全局魯棒指數同步的若干充分條件。這一研究為套用變分方法獲得具脈衝項的修正的p-Laplacian方程解的存在性和多重性後分析其全局魯棒指數同步性提供了有效方法。