信息融合估計理論及其套用

《信息融合估計理論及其套用》用作者獨創的現代時間序列分析方法和經典Kalman濾波方法系統地提出了最優融合估計、自校正融合估計和魯棒融合估計的新理論、新方法和新算法，其中包括最優和自校正融合、集中式和分散式融合、狀態融合和觀測融合Kalman濾波和Wiener濾波理論，及協方差交叉融合魯棒Kalman濾波理論，並給出了在目標跟蹤系統中的仿真套用。

基本介紹

• 書名：信息融合估計理論及其套用
• 類型：人文社科
• 出版日期：2012年6月1日
• 語種：簡體中文
• ISBN：7030349407, 9787030349408
• 品牌：科學出版社
• 作者：鄧自立
• 出版社：科學出版社
• 頁數：482頁
• 開本：5
• 定價：80.00

內容簡介

《信息融合估計理論及其套用》內容新穎，理論嚴謹，理論體系完整，並含有大量仿真例子，可作為高等學校控制科學與技術、電子科學與技術、通信與信息技術、計算機套用技術等有關專業研究生和高年級本科生的教材，且對信號處理、控制、通信、航天、導航、制導、目標跟蹤、衛星測控、GPS定位、檢測與估計、故障診斷、機器人、遙感、圖像處理、多感測器信息融合等領域的研究人員和工程技術人員也有重要參考價值。

圖書目錄

前言
第1章 緒論
1.1 多感測器信息融合產生的背景
1.2 信息融合概念和定義
1.3 估計理論的方法論
1.3.1 Kalman濾波方法
1.3.2 現代時間序列分析方法
1.3.3 時域Wiener濾波方法
1.3.4 系統辨識方法
1.4 信息融合估計理論的分支和進展
1.4.1 最優信息融合濾波理論
1.4.2 信息融合系統辨識
1.4.3 自校正信息融合濾波理論
1.4.4 CI融合魯棒信息融合濾波理論
1.5 信息融合濾波的基本方法
1.5.1 集中式融合與分散式融合方法
1.5.2 狀態融合與觀測融合方法
1.5.3 最優加權融合估計方法
1.5.4 CI融合估計方法
1.5.5 信息融合辨識方法
1.5.6 自校正融合方法
1.5.7 自校正融合濾波器的收斂性分析方法
1.5.8 批處理、序貫處理和並行處理CI融合方法
1.6 小結
參考文獻
第2章 信息融合估計的基本方法
2.1 最小二乘估計
2.1.1 最小二乘估計原理
2.1.2 一般最小二乘法估計公式推導及性質
2.1.3 RLS估計
2.2 WLS估計
2.2.1 WLS估計原理
2.2.2 一般WLS估計公式推導及性質
2.3 LUMV估計
2.3.1 LUMV估計原理
2.3.2 LUMV估計及性質
2.3.3 一般線性最小方差估計及性質
2.4 三種加權最優融合估計
2.4.1 按矩陣加權線性最小方差最優融合估計準則
2.4.2 按標量加權線性最小方差最優融合估計準則
2.4.3 按對角陣加權線性最小方差最優融合估計準則
2.5 CI融合估計
2.5.1 協方差橢圓及其性質
2.5.2 CI融合估計的幾何原理
2.5.3 CI融合估值的一致性
2.5.4 最優參數ω的選擇
2.5.5 CI融合估值的魯棒性
2.5.6 CI融合估值的精度分析
2.5.7 CI融合估值與局部和三種加權融合估值的精度比較
2.6 小結
參考文獻
第3章 Kalman濾波
3.1 引言
3.2 狀態空間模型與ARMA模型
3.2.1 狀態空間模型
3.2.2 ARMA模型
3.2.3 狀態空間模型與ARMA模型的關係
3.3 正交投影與新息序列
3.4 Kalman濾波器、預報器和平滑器
3.4.1 Kalman濾波器和預報器
3.4.2 Kalman平滑器
3.5 信息濾波器
3.6 Kalman濾波的穩定性
3.7 穩態Kalman濾波及其收斂性
3.7.1 穩態Kalman濾波
3.7.2 穩態Kalman濾波的收斂性
3.7.3 穩態Kalman多步預報器和平滑器
3.8 白噪聲估值器
3.9 基於Kalman濾波的時域Wiener濾波方法
3.9.1 ARMA新息模型
3.9.2 統一的Wiener狀態估值器
3.9.3 狀態分量解耦Wiener估值器
3.9.4 統一的白噪聲Wiener估值器
3.9.5 Wiener觀測預報器
3.9.6 多通道ARMA信號Wiener濾波器
3.10 標準Kalman濾波器的推廣
3.10.1 帶控制輸入和觀測偏差系統Kalman濾波
3.10.2 帶相關噪聲系統Kalman濾波
3.10.3 帶相關噪聲系統統一的白噪聲估值器
3.10.4 帶相關噪聲系統穩態Kalman濾波和白噪聲估值器
3.10.5 帶相關噪聲定常系統Wiener濾波
3.10.6 帶有色觀測噪聲系統Kalman濾波
3.11 小結
參考文獻
第4章 現代時間序列分析方法
4.1 引言
4.2 用Gevers-Wouters算法構造ARMA新息模型
4.2.1 求MA模型參數的Gevers-Wouters算法
4.2.2 用Gevers-Wouters算法構造ARMA新息模型
4.2.3 有理分式矩陣的左素分解
4.2.4 Leverrier-Fadeeva矩陣求逆算法
4.3 統一的穩態最優白噪聲估計理論
4.3.1 ARMA新息模型
4.3.2 在無窮維Hilbert空間上的投影運算
4.3.3 穩態最優白噪聲估值器
4.3.4 套用於設計ARMA信號最優濾波器和平滑器
4.4 多維Åström觀測預報器
4.4.1 Åström預報器
4.4.2 套用於設計ARMA信號最優預報器
4.5 穩態最優Kalman濾波和Wiener濾波
4.5.1 基於ARMA新息模型的穩態最優Kalman濾波
4.5.2 基於ARMA新息模型的Wiener濾波
4.6 α-β與α-β-γ跟蹤濾波器
4.6.1 α-β跟蹤濾波器
4.6.2 α-β-γ跟蹤濾波器
4.7 單輸入單輸出系統快速穩態Kalman濾波算法
4.8 基於ARMA新息模型與基於Riccati方程的穩態Kalman濾波器的等價性
4.9 帶觀測滯後系統統一的和通用的Wiener狀態估值器
4.10 ARMA新息模型與狀態空間新息模型的關係
4.11 ARMA新息模型與最小實現
4.12 小結
參考文獻
第5章 基於Kalman濾波方法的最優信息融合濾波理論
5.1 引言
5.2 全局最優集中式和分散式融合Kalman濾波器
5.2.1 集中式融合Kalman濾波器
5.2.2 全局最優的分散式融合Kalman濾波器
5.3 全局最優序貫分散式融合Kalman濾波器
5.4 最優加權狀態融合Kalman估值器
5.4.1 局部Kalman濾波器及誤差互協方差
5.4.2 局部Kalman預報器及誤差互協方差
5.4.3 局部Kalman平滑器及誤差互協方差
5.4.4 最優加權狀態融合Kalman估值器
5.4.5 最優加權融合白噪聲反卷積估值器
5.5 最優加權狀態融合穩態Kalman估值器
5.6 多模型信息融合Kalman濾波
5.6.1 問題提出
5.6.2 多模型多感測器時變系統Kalman融合器
5.6.3 多模型多感測器定常系統穩態Kalman融合器
5.7 帶觀測滯後系統最優加權融合穩態Kalman估值器
5.8 帶觀測滯後的ARMA信號最優加權融合Wiener濾波器
5.8.1 基於狀態估值器的ARMA信號Wiener融合器
5.8.2 基於白噪聲估值器和觀測預報器的ARMA信號Wiener融合器
5.8.3 仿真例子
5.9 相關觀測噪聲多感測器系統加權觀測融合Kalman濾波算法
5.9.1 集中式融合Kalman濾波器算法
5.9.2 加權觀測融合Kalman濾波器算法1
5.9.3 加權觀測融合Kalman濾波器算法2
5.9.4 兩種加權觀測融合Kalman濾波算法的全局最優性
5.9.5 數值仿真例子
5.10 加權觀測融合穩態Kalman濾波算法
5.11 加權觀測融合Wiener濾波算法
5.11.1 加權觀測融合Wiener狀態估值器
5.11.2 Wiener狀態融合器的功能等價性和漸近全局最優性
5.11.3 套用於ARMA信號加權觀測融合Wiener濾波
5.11.4 仿真例子
5.12 帶相關噪聲多感測器系統加權觀測融合Kalman濾波算法
5.12.1 集中式融合和加權觀測融合Kalman濾波
5.12.2 加權觀測融合Kalman濾波的全局最優性
5.12.3 集中式融合和加權觀測融合穩態Kalman濾波
5.12.4 帶公共干擾觀測噪聲系統加權觀測融合器
5.13 加權觀測融合Wiener反卷積濾波器
5.13.1 加權觀測融合白噪聲Wiener反卷積估值器
5.13.2 加權觀測融合ARMA信號Wiener反卷積估值器
5.14 小結
參考文獻
第6章 基於現代時間序列分析方法的最優信息融合濾波理論
6.1 引言
6.2 集中式融合穩態Kalman濾波器
6.3 基於ARMA新息模型的加權狀態融合Kalman濾波
6.3.1 定常系統最優加權狀態融合Kalman估值器
6.3.2 多模型多感測器最優加權狀態融合Kalman估值器
6.3.3 帶觀測滯後系統加權融合穩態Kalman估值器
6.4 最優加權融合穩態白噪聲反卷積估值器
6.5 帶觀測滯後的ARMA信號加權融合Wiener估值器
6.6 帶觀測滯後的加權融合Wiener狀態估值器
6.7 加權觀測融合穩態Kalman濾波與Wiener濾波
6.7.1 集中式融合穩態Kalman估值器
6.7.2 加權觀測融合穩態Kalman濾波算法1
6.7.3 加權觀測融合穩態Kalman濾波算法2
6.7.4 加權觀測融合Wiener濾波算法
6.7.5 套用於跟蹤系統
6.8 ARMA信號加權觀測融合Wiener濾波器
6.8.1 帶白色觀測噪聲的ARMA信號加權觀測融合方法
6.8.2 帶有色觀測噪聲的ARMA信號加權觀測融合方法
6.8.3 ARMA信號反卷積加權觀測融合方法
6.9 小結
參考文獻
第7章 自校正信息融合濾波理論
7.1 引言
7.2 收斂性分析的DESA方法和DVESA方法
7.2.1 DESA方法
7.2.2 DVESA方法
7.3 多維和多重RLS算法、多維和多重RELS算法
7.3.1 多重RLS算法
7.3.2 多維RLS算法
7.3.3 多重RELS算法、多維RELS算法
7.4 多維和多重RIV算法
7.5 多維BCRLS算法
7.6 多感測器多通道ARMA模型信息融合多段辨識
7.6.1 第1段：AR參數融合估值器
7.6.2 第2段：噪聲方差融合估值器
7.6.3 第3段：MA參數融合估值器
7.6.4 仿真例子
7.7 帶感測器偏差的ARMA模型融合辨識
7.8 帶有色觀測噪聲ARMA模型融合辨識
7.9 自校正Riccati方程的收斂性
7.10 自校正集中式融合信息濾波器
7.10.1 自校正集中式融合信息濾波器及其收斂性
7.10.2 基於隨機過程理論定義按實現、按機率1收斂性和有界性
7.10.3 套用於信號處理
7.10.4 仿真例子
7.11 自校正分散式融合信息濾波器
7.12 帶未知有色觀測噪聲的自校正融合Kalman濾波器
7.12.1 局部和融合的穩態Kalman預報器
7.12.2 未知模型參數和噪聲方差估值
7.12.3 自校正解耦融合Kalman預報器
7.12.4 自校正局部和融合Kalman預報器的收斂性
7.12.5 仿真例子
7.13 自校正加權觀測融合Kalman濾波器
7.13.1 自校正觀測融合Kalman濾波器
7.13.2 自校正Kalman融合器的收斂性
7.13.3 仿真例子
7.14 自校正加權觀測融合Kalman信號濾波器
7.14.1 最優加權觀測融合Kalman信號濾波器
7.14.2 自校正加權觀測融合Kalman信號濾波器
7.14.3 仿真例子
7.15 含未知參數的自校正解耦融合Kalman濾波器
7.15.1 最優和自校正解耦融合Kalman濾波器
7.15.2 自校正局部和融合Kalman濾波器的收斂性
7.15.3 套用於多感測器多維AR信號處理
7.15.4 仿真例子
7.16 帶有色觀測噪聲的AR信號的自校正加權觀測融合Kalman濾波器
7.16.1 最優加權觀測融合Kalman濾波器
7.16.2 未知模型參數和噪聲方差估計
7.16.3 自校正加權觀測融合Kalman濾波器
7.16.4 仿真例子
7.17 多感測多通道ARMA信號自校正加權觀測融合Wiener濾波器
7.17.1 最優加權觀測融合Wiener濾波器
7.17.2 模型參數和噪聲方差估值器
7.17.3 自校正加權觀測融合Wiener濾波器及其收斂性
7.17.4 仿真例子
7.18 小結
參考文獻
第8章 CI融合魯棒Kalman濾波理論
8.1 引言
8.2 兩感測器CI融合穩態Kalman濾波器與三種加權融合穩態Kalman濾波器的精度比較
8.2.1 局部穩態Kalman濾波器
8.2.2 集中式融合穩態Kalman濾波器
8.2.3 按矩陣加權融合穩態Kalman濾波器
8.2.4 按標量加權融合穩態Kalman濾波器
8.2.5 按對角陣加權融合穩態Kalman濾波器
8.2.6 CI融合穩態Kalman濾波器
8.2.7 局部和融合估值器的精度比較
8.2.8 仿真例子
8.3 多通道ARMA信號CI融合Wiener濾波器
8.3.1 多通道ARMA信號局部Wiener濾波器
8.3.2 按矩陣加權最優融合Wiener信號濾波器
8.3.3 CI融合Wiener信號濾波器
8.3.4 仿真例子
8.4 帶觀測滯後兩感測器系統CI融合穩態Kalman估值器
8.4.1 局部穩態Kalman估值器
8.4.2 CI融合穩態Kalman估值器
8.4.3 仿真例子
8.5 帶觀測滯後的兩感測器多通道ARMA信號CI融合Wiener濾波器
8.6 BCI魯棒融合估計
8.6.1 魯棒性精度概念
8.6.2 BCI融合估計的一致性
8.6.3 局部估計與BCI融合估計的魯棒精度關係
8.7 BCI融合魯棒Kalman濾波器
8.7.1 局部穩態Kalman濾波器
8.7.2 按矩陣加權最優融合穩態Kalman濾波器
8.7.3 多感測器BCI融合穩態Kalman濾波器
8.7.4 局部和融合穩態Kalman濾波器的精度比較
8.7.5 BCI融合魯棒穩態Kalman濾波器
8.8 SCI融合魯棒Kalman濾波器
8.8.1 SCI融合穩態Kalman濾波器
8.8.2 SCI融合器的一致性和精度分析
8.8.3 SCI融合器精度關於感測器次序的靈敏性
8.8.4 SCI融合魯棒穩態Kalman濾波器
8.9 PCI融合Kalman濾波器
8.9.1 PCI融合Kalman濾波器
8.9.2 PCI融合器的一致性和精度分析
8.10 小結
參考文獻

文摘

第1 章 緒論
1.1 多感測器信息融合產生的背景
多感測器信息融合（Multisensor Information Fusion），也稱多源信息融合（Multi-source Information Fusion）或多感測器數據融合（Multisensor Data Fu-sion），是20 世紀70 年代以來發展起來的一門多學科交叉的新興邊緣學科，目前已成為備受人們關注的熱門領域[1-9]。它產生和發展的背景是軍事領域的通訊、指揮、控制和智慧型系統（Commani cation ，Comman ，Controland Intelligent Systems ，C3 I）的需要，以及許多高技術領域（包括圖象處理、機器人、遙感、故障診斷、交通管制、刑偵、GPS 定位、衛星測控制導、跟蹤、導航等）的需要。20 世紀70 年代以來隨著各種先進武器系統的出現，例如精確制導、遠程打擊、飛彈攔截等武器的出現，迫切要求提高對運動目標（飛彈、飛機、衛星、坦克、車輛、船艦等）的跟蹤精度或對系統狀態（包括目標定位、目標身份識別、戰爭態勢和威脅評估等）估計的精度。為了提高跟蹤或狀態估計精度，傳統的單感測器觀測系統是無能為力的，因而出現了大量具有不同套用背景的多感測器系統。問題焦點在於：如何對來自每個感測器的信息按某種最優融合準則和最優融合方法進行最佳化組合和綜合處理，得到系統狀態的最佳融合估計，目的是使融合估計的精度高於基於每個單個感測器的估計精度。
早在20 世紀70 年代初，美國海軍發現採用多個聲吶感測器探測敵方潛艇位置時，對多個聲吶信號進行融合處理後，能更準確地估計敵方潛艇的位置，其精度高於基於每個單個聲吶感測器的定位精度。這一發現是多感測器信息融合這一新興邊緣學科產生的重要背景之一。這一發現對現代戰爭也產生深遠影響。1985年美國國防部三軍實驗室理事聯席會（JDL）在C3 I 系統中首次提出多感測器數據融合的定義[1]，並相繼開發出一系列用於目標定位、跟蹤、識別、態勢和威脅評估的戰略和戰術C3 I 系統，並套用于海灣戰事和科索沃戰爭。進一步美國在C3 系統中加入計算機，建立以信息融合為核心的C4 I 系統，並套用於伊拉克戰爭和阿富汗戰爭。
早在1988 年美國國防部就把信息融合技術列為20 世紀90 年代重點開發研究的20 項關鍵技術之一，且列為最優先發展的A 類。我國在這一領域的研究起步較晚，在20 世紀90 年代後才漸近形成研究熱潮[3-6]。
1.2 信息融合概念和定義多感測器信息融合是信息科學與技術、計算機科學，人工智慧、通信技術、軍事科學、電子科學與技術、控制科學與技術，數學、管理科學等多學科交叉的一門新興邊緣學科。由於它涉及內容的廣泛性和多樣性，到目前為止信息融合還沒有一個統一的和公認的定義。各學科領域的研究學者按自己的理解給出了不同的定義。
他們用不盡相同的術語來解讀什麼是多源信息？ 什麼是融合？ 什麼是融合的目的？ 目前為大多數研究學者所接受的信息融合的定義，是1985 年由美國國防部三軍實驗室理事聯席會（JDL）提出的[7]：定義1.2.1 信息融合是對來自單一的和多源的數據和信息進行關聯、相關和組合的處理過程，以獲得準確的目標位置和身份估計，對態勢、威脅及其重要性進行完整的、及時的評估。該過程的特點是連續進行估計和評估最佳化，並且對附加信息源的需求進行評估，且改進過程本身，以便獲得更好的結果。
上述定義是JDL 關於信息融合最初的定義。該定義由於過於具體化有較大的局限性。JDL 目前關於信息融合修改的定義是如下[7]：定義1.2.2信息融合或數據融合是數據或信息的組合過程，用於估計或預測實體狀態。
我們看到，定義
1.2.2 較定義
1.2.1 做了大幅度的精煉和改進，使其更具有一般性。例如相關和關聯處理不適用於所有融合問題。新定義中狀態概念是廣義的，更具有普遍性。目標位置和身份均可視為實體的狀態，而態勢和威脅也可視為戰爭系統的狀態。具體修改說明還可進一步參見文獻[6]。
Hall 和Llinas 的定義是如下[2]：定義
1.2.3 信息融合是組合來自多個感測器的數據和相關信息，以獲得比單個獨立感測器更詳細而精確的推理。
這個定義的優點是突出了信息融合的目的：融合估計的精度高於基於單個感測器估計的精度。比較定義
1.2.3 與定義1.2.2 ，我們看到，定義1.2.2 缺點和不是之處為：沒有進一步強調信息融合的目的不僅僅是估計或預測實體狀態，而且要求估計的精度比基於單個感測器的估計精度高。而且沒有強調信息組合過程是最佳化組合。因此定義1.2.2 的後半句話“用於估計或預測實體狀態”可改進為“用於較高精度地估計和預測實體狀態”。前半句話中“組合過程”應改進為“最佳化組合過程”。
總結上述三個定義，多感測器信息融合的定義有如下三個要素：
（1）信息概念的內容是十分豐富的。不僅感測器的觀測數據是信息，而且信息的內容還可擴大為知識、情報、經驗、模式、圖像、關係、規劃等其他形式的信息。
（2）信息融合的核心是對多源信息的組合，要採用最佳化的融合規則和融合方法來實現最佳化的信息組合，以達到信息融合目的。文獻[9]給出如下定義：定義1.2.4估計融合或關於估計的數據融合是如何最佳套用有用的多源數據信息以獲得一個未知量――一個參數或過程狀態的估計問題。
這個定義強調了最佳套用有用信息，即信息融合是一個最佳化的綜合過程。
（3）信息融合目的是在某種意義下獲得系統狀態的最佳融合估計，其精度高於基於單個感測器的估計精度。
當信息形式是觀測數據時，多感測器信息融合也叫多感測器數據融合。當信息形式不是數據時，例如圖像知識、模式等，稱為多源信息融合。
綜合上述關於信息融合的四個定義，根據信息融合三要素，我們認為信息融合的定義可改進為：定義
1.2.5 信息融合是對多源信息的一個最佳化組合過程，以獲得系統狀態的更精確的估計。
在這個改進的定義中不再具體區分數據或非數據形式的信息，而統一為多源信息。改進定義的前半句強調了定義
1.2.1 中對信息的最佳化組合處理，後半句強調了定義1.2.1 中信息融合目的是獲得更好的狀態估計精度。
當信息形式為數據時，多感測器數據融合可相應地定義為：定義
1.2.6 多感測器數據融合是對來自多感測器的數據的一個最佳化組合過程，以獲得系統參數或狀態的更精確的估計，其精度高於基於單個感測器的估計精度。
1.3 估計理論的方法論本書以數據為信息形式，多感測器信息融合估計為多感測器數據融合估計。
信息融合估計理論是傳統的估計理論與多感測器信息融合相交叉、相互滲透的產物，是多源信息融合這一新興邊緣學科的一個重要分支。所謂方法論是指最重要、最普遍、最一般、最通用的方法。本書套用的估計理論（包括信息融合估計理論）方法論有Kalman 濾波方法[10] 、現代時間序列分析方法[11-13]、Wiener 濾波方法[14-17 ]和系統辨識方法[18-20]。
1.3.1 Kalman 濾波方法20 世紀40 年代由控制論創始人N ．Wiener[14]用頻域方法（譜分解）提出了Wiener 濾波方法，解決如何從被噪聲污染的觀測信號中過濾噪聲，求線上性最小方差意義下未知真實信號的最優估值器（濾波器）。其缺點和局限性是要求信號是平穩隨機過程，濾波器是非遞推的，要求存貯全部歷史數據，計算量和存貯量大，不便於工程套用隨著電子計算機、軍事和空間技術的發展，迫切要求濾波算法是遞推的，便於實時計算，且要求濾波方法可處理多變數非平穩隨機過程或時變系統的濾波問題。在這種套用背景下，R ．E ．Kalman[10]在20 世紀60 年代初提出了Kalman濾波方法。它是一種時域方法，它基於狀態空間模型和射影理論解決最優濾波問題。它的基本工具是Riccati 方程。它的優點是最優濾波算法是遞推的，便於在計算機上實驗和實時套用，可處理時變系統、非平衡隨機信號、多維信號的濾波問題，克服了Wiener 濾波方法的缺點。但其缺點是要求精確已知系統模型參數和噪聲統計。由於Kalman 濾玻具有上述優點，Kalman 濾波方法提出後，立即被套用到工程領域。美國太空署阿波羅登目計畫中導航系統中，導航問題主要歸結為解決太空船運動狀態估計問題。Kalman 濾波算法被成功用於解決這個問題。C ― 5A飛機導航系統設計是Kalman 濾波早期套用中的另一個成功實例。目前它已廣泛套用於許多高技術領域，包括目標跟蹤、制導、GPS 定位、通信與信號處理、故障診斷、機器人、多感測器信息融合等。
Kalman 濾波方法關鍵技術之一是狀態空間方法。狀態空間方法包括系統的狀態變數概念和狀態空間模型。狀態變數是比信號更廣泛、更一般的概念。根據具體情況，信號可看成系統的狀態或狀態的某個或某些分量。例如對一個目標跟蹤系統，可將運動目標的位置、速度和加速度視為跟蹤系統的狀態變數，而人們最感興趣的位置信號只是狀態變數的一個分量。狀態空間模型包括狀態方程（狀態模型）和觀測方程（觀測模型）。用狀態方程描寫狀態隨時間變化的規律，用觀測方程表示對狀態變數進行觀測的觀測模型（感測器觀測模型）。在觀測方程中通常含有隨機觀測噪聲（感測器觀測噪聲）。在狀態方程中通常也含有輸入噪聲，稱這類系統為隨機系統。
狀態空間模型和Kalman 濾波問題可用如下簡單的雷達跟蹤系統來說明。
例1.3.1 雷達目標跟蹤系統狀態空間模型和Kalman 濾波問題。
一個運動目標（飛機、飛彈、坦克、車輛等）沿直線做變速運動。由運動定律有運動模型和觀測模型s（t + 1）= s（t）+ 痹s（t）T0 +T202¨s（t）
（1.3.1）痹s（t + 1）= 痹s（t）+ ¨s（t）T0 （1.3.2）¨s（t + 1）= ρ¨s（t）+ w（t）（1.3.3）y（t）= s（t）+ v（t）（1.3.4）其中T0 為採樣周期，t 為離散時間，s（t），痹s（t）和¨s（t）各為在採樣時刻tT0 處運動目標的位置、速度和加速度。y（t）為雷達對位置的觀測信號，v（t）為觀測噪聲。假設加速度¨s（t）服從一階自回歸模型（1.3.3），其中ρ為模型參數。w（t）和v（t）是零均值、方差各為σ2w 和σ2v 的互不相關白噪聲，即E[w（t）w（j）] = σ2w δtj ， E[v（t）v（j）] = σ2vδtj ，E[w（t）v（j）] = 0 ， 橙t ，j （1.3.5）其中E 為均值號（數學期望），δtt = 1 ，δtj = 0 （t ≠ j ）。（1.3.1）- （1.3.3 ）為運動模型，（1.3.4）為觀測模型。引入狀態變數x（t）為如下3 × 1 列向量x（t）= [s（t），痹s（t），¨s（t）]T （1.3.6）其中符號T 表示轉置，則由（1.3.1）- （1.3.4）有狀態方程和觀測方程為s（t + 1）痹s（t + 1）¨s（t + 1）=1 T0 0.5 T200 1 T00 0 ρs（t）痹s（t）¨s（t）+001w（t）（1.3.7）y（t）= [1 0 0]x（t）+ v（t）（1.3.8）其中（1.3.7）為狀態方程，（1.3.8）為觀測方程。於是狀態空間模型可表為x（t + 1）= Φx（t）+ Γw（t）（1.3.9）y（t）= Hx（t）+ v（t）（1.3.10）Φ =1 T0 0.5 T200 1 T00 0 ρ， Γ =001， H = [1 0 0] （1.3.11）其中Φ 叫狀態轉移陣，H 叫觀測陣。狀態方程（1.3.9）描寫了狀態變數x（t）隨時間的變化規律，觀測方程（1.3.10）描寫了對狀態x（t）的觀測信息。通常不是狀態的所有分量均被觀測，例如對本例只狀態的第一個分量位置s （ t）被觀測，即（1.3.10）就是（1.3.4）。
Kalman 濾波問題是：基於狀態空間模型（1.3.9）和（1.3.10），基於到時刻t 為止的觀測數據（y（t），y（t - 1），? ，y（1））求運動目標的狀態x（t）的線性最小方差最優濾波估值＾x（t|t）。即求其位置、速度和加速度在時刻t 的估值。這可用第3 章的遞推Kalman 濾波算法解決：＾x（t|t）= ＾x（t|t - 1）+ K（t）ε（t） （1.3.12）＾x（t|t - 1）= Φ＾x（t - 1 |t - 1）（1.3.13）ε（t）= y（t）- H＾x（t|t - 1）（1.3.14）K（t）= Σ（t|t - 1）HT [HΣ（t|t - 1）HT + σ2v]- 1 （1.3.15）P（t|t）= [In - K（t）H]Σ（t|t - 1）（1.3.16）其中＾x（t|t - 1）是基於（y（t - 1），? ，y（1）對狀態x（t）的一步觀報估值，P（t|t）和Σ（t|t - 1）分別為濾波和預報估值誤差方差陣，ε（t）是新息，K（t）是Kalman 濾波器增益陣。Σ（t|t - 1）由如下Riccati 方程遞推計算：Σ（t + 1 |t）= Φ[Σ（t|t - 1）- Σ（t|t - 1）HT （HΣ （t|t - 1）HT + σ2v ）- 1 HΣ（t|t - 1）] ΦT + σ2w ΓΓT （1.3.17）帶初值＾x（1 |0）= μ0 ，Σ（1 |0）= Σ0。
上述遞推Kalman 濾波算法適合計算機實時計算，因為它僅需存貯前一時刻估值及其誤差方差陣，就可遞推計算下一時刻估算。不需要像Wiener 濾波要求存貯全部歷史數據。
Kalman 濾波算法的基本工具是Riccati 方程。
狀態空間模型（1.3.9）和（1.3.10）的形式具有一般性。許多套用問題均可用這種形式的狀態空間模型描寫。在一般情形下，狀態x（t）是n × 1 列向量，Φ 是n × n矩陣，Γ 是n × r 矩陣，y（t）是m × 1 列向量，v（t）是m × 1 列向量，w（t）是r × 1列向量，H 是m × n 矩陣。Kalman 濾波的出發點就是狀態空間模型（1.3.9 ）和（1.3.10）。
1.3.2 現代時間序列分析方法現代時間序列分析方法[11 ]是20 世紀80 年代末被提出的，迄今已發展成為解決最優和自校正濾波問題的重要的方法論[12 ，13 ，19]。它是經典時間序列分析[18]與經典Kalman 濾波相互滲透、相互交叉的產物。自回歸滑動平均（AutoregressiveMoving Average，ARMA）模型是時間序列分析的基本模型，狀態空間模型是Kal-man 濾波的基本模型。現代時間序列分析方法的基本工具是觀測過程的ARMA新息模型。ARMA 新息模型建立了觀測過程和新息過程之間的關係，揭示了系統觀測、新息、輸入白噪聲和觀測白噪聲之間的數量關係。ARMA 新息模型提供了最優估計（最優濾波）所需的全部統計信息。新息過程是白噪聲，它與觀測過程含有相同的統計信息。現代時間序列分析方法的理論基礎是白噪聲估值器和觀測預報器[19]。可通過求輸入和觀測白噪聲估值器及觀測預報來求狀態估值器。現代時間序列分析方法通過ARMA 新息模型求穩態Kalman 濾波器增益陣，完全不同於Kalman 濾波方法通過Riccati 方程求穩定KalmanI 濾波器增益陣。現代時間分析方法的優點是：當系統含有未知模型參數和/或噪聲方差時，可通過線上辨沿ARMA 新息模型來設計自校正Kalman 濾波器[13 ，19]。它的局限性是：它僅適用於處理線性離散定常隨機系統的穩態Kalman 濾波問題。而Kalman 濾波方法可用於設計時變系統最優時變Kalman 濾波器。但Kalman 濾波方法的缺點是要求系統模型參數和噪聲方差是精確已知的。