保閉族(closure preserving family)是一類集族。設U為拓撲空間X的子集族。若對於U的任意子族V，∪{W'|W∈V}為閉集，則稱U為X的保閉族。若U可以表示為可數個保閉族的並，則稱U為X的σ保閉族。
基本介紹
- 中文名：保閉族
- 外文名：closure preserving family
- 領域：數學
- 學科：集合論
- 性質：一類集族
- 空間：拓撲空間
概念,集族,局部有限族,拓撲空間,仿緊空間,
概念
保閉族(closure preserving family)是一類集族。設U為拓撲空間X的子集族。若對於U的任意子族V，∪{W'|W∈V}為閉集，則稱U為X的保閉族。若U可以表示為可數個保閉族的並，則稱U為X的σ保閉族。局部有限族必為保閉族。麥可(Michael，E.)用保閉族給出仿緊空間的充分必要條件。保閉族是麥可於1957年提出的。
集族
集族是一種特殊的集合。以集合為元素的集合稱為集族。例如，集A的冪集P(A)是一個集族。P(P(A))，P(P(P(A))都是集族。集族常用花體字母A，B，C等表示。取A為標號集，A到集族A的一一對應(雙射)為f：a→Aa，則集族A可記為{Aa|a∈A}或{Aa}a∈A。當A為線性序集{…，a，…，b，…，c，…}時，集族{…，Aa，…，Ab，…，Ac，…}稱為集列。
集合是集合論研究的基本對象。指公理集合論系統中的個體。在公理集合論系統中，集合被作為原始概念引入，其性質由系統的公理所界定。因此在不同的公理集合論系統中，集合的性質及相互之間的關係也不同。如在ZFC公理系統中，集合具有下列最基本的性質：
1.外延性.任何兩個具有相同元素的集合相等。
2.遺傳性.集合的任何元素仍是集合。
3.正則性.任何一個集合不屬於它本身。
在含原子的公理集合論系統中的集合不滿足遺傳性，在不含正則公理的公理集合論系統中，集合通常不具有正則性。在素樸集合論中，集合用概括原則定義，即為{x|p(x)}的形式，p(x)表示關於x的某個性質。集合a={x|p(x)}意指ᗄx(x∈a↔p(x))。
局部有限族
局部有限族是一類集族。設M為拓撲空間X的子集族。若對於任意x∈X，存在x的鄰域V，使得V僅與M中有限個成員相交，則稱M為X的局部有限族。若M是可數個局部有限族的並集，則稱M為X的σ局部有限族。局部有限族的概念是亞歷山德羅夫(Александров，П.С.)於1924年引入的。
亞歷山德羅夫是蘇聯數學家。生於俄羅斯的博戈羅德斯克(Богородск)，1917年畢業於莫斯科大學。1921年起在莫斯科大學工作，1929年晉升為教授。1932—1964年，任莫斯科數學會主席。1953年被選為蘇聯科學院院士。
亞歷山德羅夫是現代拓撲學的奠基者之一。他的研究工作開始於集合論和函式論，後轉向拓撲學。他和烏雷松(Урысон，П.С.)共同創立並發展了緊與列緊空間理論，引入了一系列基本概念和拓撲結構，建立了本質映射定理和同調維數論，並由此導出了一系列對偶性原理的基本規律。例如，他們得到的定理和性質有：任何一個一般拓撲空間都與一個簡單的幾何圖形——多面體相近似；圖形與集合的拓撲性質與其餘集的拓撲性質有關等。亞歷山德羅夫的著作有《組合拓撲學》(1947)、《群論導引》(1951)、《非歐幾何是什麼?》(1950)、《集與函式的泛論初階》(1948)、《拓撲對偶定理(第一部分)：閉集》等。他早年與霍普夫(Hopf，E.)合著的《拓撲學》流傳很廣。
拓撲空間
歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。
此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。
仿緊空間
仿緊空間是一類重要的拓撲空間。為了討論拓撲空間的可度量化問題，迪厄多內(Dieudonné，J.)於1944年引入仿緊空間的概念。設X為拓撲空間。若X的任意開覆蓋都有局部有限的開覆蓋加細，則稱X為仿緊空間。緊空間是仿緊空間。度量空間也是仿緊空間。反之未必成立。仿緊空間是緊空間的一種最重要的推廣.對於這一類空間的研究，不僅從內容上推廣了緊空間理論，而且較大地發展了覆蓋方法，有力地推動了一般拓撲學的發展，特別是廣義度量空間理論和度量化問題的廣泛進展。另外，仿緊空間在微分流形、代數拓撲和泛函分析中也有重要的套用。仿緊性具有閉遺傳性。仿緊T2空間的閉連續像是仿緊T2的。仿緊T2空間是全體正規空間。全體正規空間是仿緊空間。仿緊T2空間中的Fσ集是仿緊的。在完全映射下，仿緊空間的原像是仿緊的。仿緊空間是亞緊的、可數仿緊的、族正規的。可數緊的仿緊空間是緊空間.林德勒夫空間是仿緊的。斯通(Stone，A.H.)於1948年、麥可(Michael，E.)於1953年給出了仿緊性的幾個等價條件。森田紀一(Morita，K.)和玉野(Tamano，H.)於1960—1962年也分別給出了幾個等價條件。
