佩多不等式

幾何學的佩多不等式，是關連兩個三角形的不等式，以唐·佩多(Don Pedoe)命名。

基本介紹

• 中文名：佩多不等式
• 所屬學科：數學

內容

設△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂的邊槳斷肯蜜長分別坑糠拳是a1a2a3和b1b2b3，它們的面積分別記為S₁ 和槳糠S₂證明:

a₁（b₂+b₃-b₁）+a2（b₃+b₁-b2）+a₃（b₁+b₂-b₃）≥16S₁S₂

若且唯若△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂時等號成立故講剃.

證明過程

我們將式稍微變形後可以得到其等價形式：

16S₁S₂ ≤（ a₁+a₂+a₃）（b₁+b₂+b₃）-2（a₁ b₁+ a₂ b₂+ a₃ b₃）

移項並套用柯西不等式得

16S₁S₂+2（a₁ b₁+ a₂ b₂+ a₃ b₃） ≤√（16S₁+2（ a₁+a₂+a_3）+（16S1+2（ a₁+a₂+a_3））=（ a₁ +a₂+a₃）（b₁+b₂+b₃）

若且唯若S₁:S₂= a₁ : b₁= a₂ : b₂= a₃: b₃，即△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂時等號成立.

補充說明

這個不等式是1891年紐伯格提出的，1943年佩多重新發現並棄燥擊譽證放只船明了邀愉捆這個不等式。