佩多不等式

幾何學的佩多不等式，是關連兩個三角形的不等式，以唐·佩多(Don Pedoe)命名。

內容

設△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂的邊長分別是a1a2a3和b1b2b3，它們的面積分別記為S₁ 和S₂證明:

a₁²（b₂²+b₃²-b₁²）+a₂（b₃²+b₁²-b²）+a₃²（b₁²+b₂²-b₃²）≥16S₁S₂

若且唯若△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂時等號成立.

證明過程

我們將式稍微變形後可以得到其等價形式：

16S₁S₂ ≤（ a₁²+a₂²+a₃²）（b₁²+b₂²+b₃²）-2（a₁ ²b₁²+ a₂² b₂²+ a₃² b₃²）

移項並套用柯西不等式得

16S₁S₂+2（a₁ ²b₁²+ a₂ ²b₂²+ a₃² b₃²） ≤√（16S₁²+2（ a₁⁴+a₂⁴+a₃⁴_）+（16S1²+2（ a₁⁴+a₂⁴+a₃⁴_））=（ a₁² +a₂²+a₃²）（b₁²+b₂²+b₃²）

若且唯若S₁:S₂= a₁ : b₁= a₂ : b₂= a₃: b₃，即△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂時等號成立.

其他

這個不等式是1891年紐伯格提出的，1943年佩多重新發現並證明了這個不等式。