《代數簇上整點和有理點的上同調方法》是依託首都師範大學，由徐飛擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：代數簇上整點和有理點的上同調方法
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：徐飛
- 依託單位：首都師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
研究代數簇的整點和有理點是算術代數幾何核心問題之一，而上同調是現代數學研究的重要手段。本研究計畫試圖利用各種Grothendick拓撲定義的上同調方法,建立數域上代數簇在這些上同調障礙下的強逼近定理。由此判定這些代數簇的有理解和整數解的存在性。進一步研究這些代數簇有理解和整數解個數的漸進公式，確定上同調障礙如何通過擾動局部解個數貢獻給解個數的漸進公式。研究漸進公式中體現L-函式的特殊值與代數簇的算術不變數的聯繫。
結題摘要
研究數域上代數簇的整點和有理點是算術代數幾何基本問題之一。上同調方法是現代數學研究的重要工具之一。本研究計畫試圖利用平靜拓撲上同調定義的代數簇的Bauer群，建立數域上代數簇在Brauer-Manin障礙下的強逼近定理。由此判定這些代數簇的有理解和整數解的存在性。進一步研究這些代數簇有理解和整數解個數的漸進公式，確定上同調障礙如何通過擾動局部解個數貢獻給解個數的漸進公式。研究漸進公式中體現L-函式的特殊值與代數簇的算術不變數的聯繫。主要成果如下： 1. 利用纖維化方法證明了數域上一族二次型空間，如果整個空間非緊，就滿足Brauer-Manin障礙下的強逼近定理。而這一類代數簇，其每一根纖維都可以是正定二次型定義的齊性空間，因而不滿足強逼近性質。因此論文中的方法，突破了傳統纖維化方法。 2. 證明了有理數域，虛二次域或整體函式域上代數環面的子代數簇的有理點和Brauer-Manin集合相同。由此可以推出：這些域上的光滑代數簇都包含一個Zariski稠密開子集滿足這種性質。作為套用：證明了函式域上Harari-Voloch猜想，並證明該猜想在數域上關於零維代數簇也是成立的。 3. 證明了連通線性代數群的齊性空間上的整點個數，可由相應局部整解通過Brauer群里的元素扭動後的個數乘積，平均地漸進給出。對於代數環面，特別是Pell方程給出了解個數非常明確的漸進公式。作為套用：說明了Eskin-Mozes-Shah關於特徵多項式為給定整數環上不可約多項式的整係數矩陣的個數是由局部整解的個數漸進給出。 4. 證明了連通代數群的等變部分光滑緊化滿足Brauer-Manin障礙下的強逼近性質。特別地，當代數群是代數環面時，這種代數簇即為toric varieties。所以光滑的toric varieties都滿足Brauer-Manin意義下的強逼近定理。
