二階曲面是空間射影幾何研究的基本對象。
滿足二次方程Σaijxixj=0,a(ij)=a(ji)的點集稱為二階曲面或二階代數曲面。
基本介紹
- 中文名：二階曲面
- 外文名：Second order surface
- 領域：數學
- 方程：Σaijxixj=0,a(ij)=a(ji)的點集
- 地位：空間射影幾何研究的基本對象
- 相關名詞：二次曲面
代數定義,射影定義,引理,定理,
代數定義
滿足二次方程
的點集稱為二階曲面或二階代數曲面。當
時，二階曲面為常態的；當
時，二階曲面為變態的。
射影定義
兩個射影面束的對應平面的交線集合連同這兩個面束的軸構成二階曲面或二階射影曲面。當兩束軸異面時，二階曲面為常態的；當兩束軸共面時，二階曲面是變態的。
在研究二階曲面的射影分類中可知，二階曲面共可分為八類，其中常態的可分三類：
(一)、無實點的二階曲面
(二)、有實點但無實直線的二階曲面
(三)有兩族實直線的二階曲面。
變態的可分五類：
(四)虛二階錐面
(五)、實二階錐面
(六)、兩共扼虛平面
(七)、兩相異實平面
(八)、兩重合平面。
欲證關於立階曲面的兩種定義的等價性，只須證明上述八類曲面均可由兩射影面束的對應平面交線構成即可。反之，凡是由兩射影面束的對應平面交線所生成的曲面僅此八類。這就是說，由二階曲面的代數定義可推出射影定義，反之，由二階曲面的射影定義可推出代數定義。
引理
引理1
一個常態二階曲面：，上總存在著兩族未必為實的直母線。若在同族中任取兩直母線a,a'，過a、a'分別作平面
，使的交線m在
上，則由
所確定的面束a到a'的映射成非透視的射影對應。
引理2
設以兩不交直線a、a'為軸的面束a{π}與a'{π'}成非透視的射影對應，則其對應平面的交線
的集合為通過兩束軸的常態二階曲面。
定理
定理1
二階射影曲面是二階代數曲面。
證明：
i)當產生二階射影曲面的兩射影面束的軸不同時，可分三種情形：
1)當兩軸不交時，由引理2知其對應平面的交線集合為一常態二階代數曲面，又由引理1前半部分知其包括(一)、(二)、(三)三種類型。
2)當兩軸相交而成非透視的射影對應時，設兩軸a、a'交於點S，這兩個面束與任一相異於由a、a'確定的平面的平面w的交線是一對射影線束，它們的中心是已知面束的軸a、a'與平面w的交點S1、S2。非透視的射影線束S1、S2在平面上構成二階曲線。射影面束a、a'的對應平面交線通過曲線上的點與點S，因此，兩面束的對應平面交線構成有頂點與準線r的變態二階曲面——二階錐面。並有虛、實兩種可能。當曲線是虛二階曲線時，S是僅有的實點，即所得的曲面是虛二階錐面；當r是實二階曲線時，曲面上有一族過S的實毋線而稱為實二階錐面。
因此，二階錐面作為兩個射影面束的對應平面交線的集合是二階代數曲面。
3)當兩軸相交而成透視對應時，兩射影面束投射作為它們公共截影的同一線束。假定以a、a'為軸的面束投射平面w上的同一線束S(l、m、n...)，這時，軸a、a'過中心S。顯然，所求的兩面束a、a’的對應平面交線集合由線束S(l、m、n...)和通過軸a、a'的平面上所有直線組成。由於公共平面元自對應，所以在兩個射影面束成透視的情形下，二階錐面分解為兩個平面w和
。因而是二階代數曲面。
ii)當產生二階射影曲面的兩射影面束的軸相同時，這時一般有兩個二重平面，可分三種情形：
1)構成雙曲型射影對應，有兩個相異的二重實平面，即對應平面的交線軌跡為兩個相異實平面所組成的變態二階曲面。
2)構成拋物型射影對應，有兩個重合的二重平面、即對應平面的交線軌跡為兩個重合平面所組成的變態二階曲面。
3)構成橢圓型射影對應，有兩個共扼的虛二重平面,即對應平面為交線軌跡為兩個共扼的虛平面所組成的變態二階曲面。
綜上所述,成射影對應的兩面束，無論兩軸不交、相交或重合,其對應平面交線軌跡總組成一個二階曲面，對應的方程均為二次方程,即二階射影曲面是二階代數曲面。
定理2
二階代數曲面是二階射影曲面。
證法同上。
