二階形式語言

二階形式語言可以在一階形式語言的基礎上構成，“一階”和“二階”都是最初由弗雷格提出的概念。在二階語言中，函詞f或謂詞p都由量詞進行了約束，形成了Qf或Qp表達式(Q是一階量詞)，或者，函詞f或謂詞p都是自身的操作對象，形成ff(x_i)或pp(x_i)表達式，於是構成了“二階”特徵。

基本介紹

• 中文名：二階形式語言
• 所屬學科：數學
• 別名：二階語言
• 相關概念：一階形式語言，

基本介紹

一階形式語言的定義

定義1一階形式語言由以下部分構成。

(1)字元表

個體變元：，或者。

常元：。

函式符號：。

謂詞符號：。

特殊謂詞符號：=。

邏輯聯結詞：。

量詞：。

括弧：(，)。

(2)形成規則

①項的形成規則：

(i) 任一個體變元，任一常項變元c都是一個項。

(ii) 若是一個帶k個自變元的函詞，是項，則是一個項。

(iii)只有由定義(i)~(ii)歸納定義得到的字元串是項。

②公式的形成規則：

(i)若是一個帶k個自變元的函詞，是項，則是一個公式。

(ii)若p是一個帶k個自變元的謂詞，是項，則是一個公式。

(iii)若A，B是公式，則是公式。

(iv)若A是公式，是一個變元，則是公式。

(v)只有由(i)~(iv)歸納定義得到的字元串是公式。

(3)語句形成規則

如果公式A不含任何自由變元，則是A語句。上述結構構成一階語言。

(4)給定一階語言，是一個一階理論，如果它包括：

①謂詞演算的所有公理；

②一個中語句組成的集合，有窮或者無窮，它們構成非邏輯公理；

③謂詞演算的所有推理規則。

(5)中的一個語句A是理論的一個定理，如果A是(4)中的①或②語句，或者是以邏輯公理或非邏輯公理為前提，使用的推理規則得到的語句。

(6)中的一個結構(或稱模型)M由一個論域D及一階公式的變元的解釋V所組成的非空集合構成，記作：

對於項；

對於函詞；

對於謂詞，用或表示V的某一次(個)映射，如表示V的第k次(個)映射使p為假。

一階形式語言相關重要概念定義如下：

一階命題變元的解釋是對(項或謂詞或函詞)變元的一個賦值(實例化)。

有量詞約束的公式稱為量化公式。

對一個量化公式(或)，稱其子公式A是量詞(或)的轄域。

在公式A中，一個變項如果出現在某個形如(或)的量詞的轄域中，或它就緊跟在∀(或∃)後面，則稱在A中的這處出現是約束的。變項的非約束的出現，稱為自由出現。

如果在A中有一處自由出現，則稱是A中的自由變項。如果在A中的所有出現都是約束的，則是A中的約束變項。

是形式化的，也是語法化的，即按照這些符號和句法規則可以或接近構成或驗證一個一階語言的命題或公式。

二階形式語言的定義

對於一階形式語言的定義，對“(2)形成規則”中的“②公式的形成規則”增補如下：若和p是一階函詞和一階謂詞，則是公式。由此構成的語言即二階形式語言。

相應地，對於一階形式語言的定義的(4)、(5)、(6)條，即關於理論、語句A、結構(模型)M，也改稱為二階的。

二階算術公理系統

定義2 ACA是二階算術公理系統，它包括PA的公理，另加概括公理(Arithmetical Comprehension Axiom，ACA)，其命題如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

歸納公理：

(9)

概括公理：

(10)

其中：X不在中自由出現。

其中，第(10)條概括公理是完全概括模式，即所有滿足公式的閉集。

“一階”和“二階”都是最初由弗雷格提出的概念。在二階語言中，函詞或謂詞p都由量詞進行了約束，形成了或表達式(是一階量詞)，或者，函詞或謂詞p都是自身的操作對象，形成或表達式，於是構成了“二階”特徵。特別地，在定義2第(9)條中，表達個體屬於集合的“屬於”符號∈相當於謂詞符號p(或函詞符號)；當一個集合表達式X語義是，而X是可量詞約束的，這相當於量詞約束了∈X，或者也可以將X理解成“屬於集合”這一謂詞，因此構成了量詞約束p或，即成為“二階”語言表達。事實上，一旦語言中出現量詞約束的集合，而集合是附有定義的(集合的定義可能帶來悖論)，因此，集合出現在表達式確實不能僅僅作為(直覺性的)個體來理解，必須考慮到它的謂詞(函詞)的意義，即考慮到它和一階語言的特徵還是有本質差別的。對於定義2的第(9)條歸納公理，嚴格的表達應該是

即存在著關係∈，使得歸納公理成立。因為n是無窮的，關係是不是無窮的在定義2的第(9)條歸納公理中並未陳述。當補足這一陳述時就產生了二階語言表達。因此，

對於無窮歸納，一般視為二階語言表達，因此，或模式被視為二階公理理論(方法)。鑒於定義2的第(8)、(9)兩條陳述的二階語言表達特徵，ACA是二階算術公理系統；當然在這個意義上說，PA也是二階算術公理系統。

弗雷格

弗雷格(Friedrich Ludwig Gottlob Frege1848～1925)是德國著名數學家、邏輯學家、現代邏輯的創始人， 也被公認是語言哲學和分析哲學的創始人。1848年生於德國魏瑪， 1869～1871年先後在耶拿大學和哥廷根大學學習數學、物理學和哲學， 1873年獲哥廷根大學博士學位，1874年在耶拿大學數學系任教， 1879年起任數學教授，直至1918年退休。其主要著作有《概念文字：一種模仿算術語言構造的純思維的形式語言》(1879)、《算術的基礎：對數這個概念所作的邏輯的和數學的研究》 (1884)、《算術的基本法則》(第一卷，1893;第二卷，1903)。重要的論文有： “函式和概念”(1891)、“論概念和對 象”(1892)、“論意義和意謂”(1892)。 其中《概念文字：一種模仿算術語言構造的純思維的形式語言》是弗 雷格思想體系的堅實基礎，它提供了一種形式語言和一個一階謂詞演算系統。在此基礎上，弗雷格向著 兩個方向展開了他的工作：試圖從邏輯推出數學，即用邏輯方法定義 數的概念，建立算術的形式系統；試圖探討邏輯哲學，即把概念文字 擴展到自然語言中句子的分析，建立邏輯哲學體系。在邏輯學方面， 其研究的主要目的在於為數學制定 堅實的邏輯基礎。他將心理的東西 和邏輯的東西、主觀的東西和客觀 的東西嚴格區別開來，批判了邏輯 學中的心理主義學派。不能用心理的過程來解釋邏輯的概念、規律， 用心理的東西也不能說明邏輯和數 學的客觀性、獨立性和普遍性，充 分重視數學與邏輯的密切關係。概 念是某些特殊類型的抽象實體，概 念詞是指稱這些概念的語言表達式， 要理解意義的性質必須要考察在語 言的使用中所發現的某些客觀的特 征。他反對傳統邏輯把一切語句都 看成具有主-謂形式的觀點，而用 專名和概念詞的區別來代替主詞和 謂詞的區別。概念是判斷的謂詞， 專名是判斷的主詞，不能將二者混 同使用。正如函式有不同的階一樣， 概念也有一階概念和二階概念之分， 混淆了這種區分，就會產生無意義 的命題。在語言哲學方面，他指出 決不可孤立地尋問一個詞的意義， 而只能在一個命題的前後關係中尋 問詞的意義，即在語句的語境中才 能確定詞的意義。語言運用的基本 單位是句子，只有把單個語詞看成 是有助於句子的形成和使用時，才 能理解其意義。他對語境的重要性 的強調，對後期維根斯坦及日常 語言學派有重要的影響。 自然語言 並不完善，應建立一種邏輯上完善 的語言，他所創造的那個形式化邏 輯系統就是這種語言的一種形式。 弗雷格的另一突出貢獻在於首次區 分了含義和指稱。一個命題具有三 個因素：名稱、指稱和含義。兩個 專名可能具有不同含義，而具有相 同指稱。同一種含義在不同語言中， 甚至在同一種語言中，具有不同的 表述。我們在把握一個語詞的含義 時，不一定能同時掌握它的指稱。 另外，有些語句可能只具有意義而 無指稱，如神話中的語句。我們既 不能只考慮語句的意義，也不能只 考慮語句的指稱，而必須將二者結 合起來。在制定數學的邏輯基礎的 過程中，弗雷格創立了數理邏輯， 為以後的分析哲學家提供了有用的 分析問題的工具，提出的一些具有 邏輯-語言性質的哲學問題，也為 分析哲學奠定了基礎，他的語言哲 學思想對分析哲學關於意義問題的 探討發生了重要影響。他被公認為 是分析哲學的思想先驅。