我國古代曆法從東漢《四分曆》開始，就有各節氣初日晷影長度和太陽去極度的觀測記錄，漏刻、晷影成為古代曆法的重要計算項目。隋朝劉焯發明二次等間距插值法之後，李淳風首先將二次插值法引入到漏刻計算中，由每氣初日的漏刻、晷影長度數求該氣各日的漏刻、晷影數。一行在編制《大衍曆》時，曾進行了大規模的天文測量，通過觀測知道，隨去極度變化的影長，又因地方而異，但同太陽的天頂距有固定的對應關係。一行在《大衍曆》中發明了求任何地方每日影長和去極度的計算方法，叫做“九服晷影”。
簡介,正切函式表的建立,祖先的數學智慧,外國人的做法,
簡介
《大衍曆》的九服晷影算法及其正切函式表
測量方法
古人把陽城作為測影的標準地點，即所謂的地中。若NP為陽城的北極高度，S1、S2、S3……為陽城夏至、小暑、大暑等日的太陽上中天位置，則PS1、PS2、PS3……為陽城夏至、小暑、大暑……諸氣太陽的去極度，取a1=PS2－PS1、a2=PS3－PS2……，則a1、a2分別為陽城夏至到小暑、小暑到大暑的去極度差數，也是太陽天頂距的差數。且這個差數對任何地點的相應季節都是相等的。
設有某地北極高度為NP′，則夏至、小暑、大暑等日的太陽上中天位置為S′1、S′2、S′3……。顯然，有
a1=PS′2－PS′1，a2=PS′3－PS′2。
陽城夏至、小暑、大暑太陽天頂距為ZS1、ZS2、ZS3等，故
a1=ZS2－ZS1，a2=ZS3－ZS2，
同樣，有
a1=ZS′2－ZS′2，a2=ZS′3－ZS′2。
正切函式表的建立
祖先的數學智慧
曆法中已給出陽城各氣初日的太陽去極度，則各氣的去極度差即為已知，同樣各氣的太陽天頂距差亦為已知，而這個差數對於任一地點都是相等的。這樣一來，對於任一地方，只要知道某一節氣（如夏至）的太陽天頂距，其他各氣的太陽天頂距都可以通過加減這個差數求出。剩下還要解決以下兩個問題：其一，如何求某地夏至（或冬至）的太陽天頂距；其二，已知天頂距如何換算出晷影長。這兩個問題都可以通過建立一個影長與太陽天頂距的對應數表來解決。
如果列出一張以天頂距為引數，每隔一度的影長的數值表，則以上兩個問題都可以解決：先在所測地測出（冬）夏至晷影長度（在一行領導的大地測量中，在每處都進行了這樣的測量），由影長查表得出太陽天頂距，再加減一個如前所述的差數ai即可求出該地各氣的天頂距，返回再查表得影長。一行在《大衍曆》“步晷漏術”中就建立了這樣一個從0度到80度的每度影長與太陽天頂距對應數表，這是世界數學史上最早的一張正切函式表。
外國人的做法
在國外，大約920年左右，阿拉伯學者阿爾·巴坦尼（al-Battani，約858—929）根據影長與太陽仰角之間的關係，編制了0度—90度每隔一度時12尺竿子的影長表，這實際上是一個12ctga的數表。另一位阿拉伯學者阿爾·威發（Abul-Waha，940—998）在980年左右編成了正切和餘切函式表，每隔15度和10度給出一個值。他還首次引進了正割和餘割函式。一行和阿爾·巴坦尼差不多沿著相同的途徑編成正切和餘切函式表。一行用太陽天頂距，阿爾·巴坦尼用太陽仰角，兩者互為餘角，所以他們兩人的發現是相同的。而一行的正切函式表比阿爾·巴坦尼的餘切函式表早近兩百年，比阿爾·威發的正切表要早二百五十年。儘管一行的正切函式表只從0度到80度，誤差也相應大一些，但它畢竟是世界上最早的正切函式表。
