主觀機率

主觀機率，是指建立在過去的經驗與判斷的基礎上，根據對未來事態發展的預測和歷史統計資料的研究確定的機率。反映的只是一種主觀可能性。儘管有一定的科學性，但和能客觀地反映事物發展規律的自然機率不同。自然機率的科學性已為過去若干統計結果所證實，而主觀機率只能反映未來事件發生的近似可能性。

基本介紹

• 中文名：主觀機率
• 外文名：Subjective Probability
• 定義：P (A)==  fn(A）
• 表達式：P(A)==k/N
• 適用條件：基本事件有限
• 參考文獻：上帝怎樣擲骰子

主觀機率和先驗分布

Subjective Probability and Prior Distribution

主觀機率決策樹

本章主要參考文獻：60，52，上帝怎樣擲骰子

基本概念

機率（probability）

1. 頻率

fn(A)==Na/N

2.每個基本事件等可能

3.公理化定義

E是隨機試驗,S是E的樣本空間,對E的每一事件A,對應有確定實數P(A),若滿足:

① 非負性：0≤P(A)≤1

② 規範性： P(S)=1

③可列可加性：對兩兩不相容事件Ak (k=1,2…) (Ai∩ Aj=φ)

P(∪Ak)=∑P(Ak)

則稱P(A)為事件A發生的機率

主觀機率

(subjective probability, likelihood)

1. 為什麼引入主觀機率

。有的自然狀態無法重複試驗

如：明天是否下雨

新產品銷路如何

明年國民經濟成長率如何

能否考上博士生

。試驗費用過於昂貴、代價過大

例：洲飛彈命中率

戰爭中對敵方下一步行動的估計

2.主觀機率定義：合理的信念的測度

某人對特定事件會發生的可能的度量。

即他相信(認為)事件將會發生的可能性大小的程度。

這種相信的程度是一種信念，是主觀的，但又是根據經驗、各方面知識，對

客觀情況的了解進行分析、推理、綜合判斷而設定(Assignment)的，與主觀臆測不同。

機率的數學定義

對非空集Ω，元素ω，即Ω={ω}，F是Ω的子集A所構成的σ-域(即Ω∈F；

若A∈F則A∈F；

若Ai∈F i=1,2,…則∪Ai∈F)

若P(A)是定在F上的實值集函式，它滿足

① 非負性 P(A)≥0

② 規範性 P(Ω)=1

③可列可加性

則稱P(A)為直的(主以或客觀)機率測度，簡稱機率

ω為基本事件

A為事件

三元總體(Ω，F，P)稱為機率空間

注意：主觀機率和客觀機率（objective probability）有相同的定義

主客觀機率的比較

(一) 基本屬性：

O：系統的固有的客觀性質，在相同條件下重複試驗時頻經的極限

S：機率是觀察者而非系統的性質，是觀察者對對系統處於某狀態的信任程度

(二)拋硬幣：正面向上機率為1/2

O：只要硬幣均勻，拋法類似，次數足夠多，正面向上的機率就是1/2，這是簡單的

定義。

S：這確是定義，DMer認為硬幣是均勻的，正、反面出現的可能性(似然率)相同，1

/2是個主觀的量。

(三)下次拋硬幣出現正面的機率是1/2

O：這種說法不對，不重複試驗就談不上機率

S：對DMer來說，下次出現正、反是等可能的。但是他不是說硬幣本身是公正的，它可能會有偏差，就他現有知識而言，沒有理由預言一面出現的可能會大於另一面，但多次拋擲的觀察結果可以改變他的信念。

O、S：下次拋硬幣出現正面還是反面不能確定，但知道：

要么是正面，要么是反面。

先驗分布(Prior distribution)及其設定

在決策分析中，尚未通過試驗收集狀態信息時所具有的信息叫先驗信息，由先驗信息所確定的機率分布叫先驗分布。

設定先驗分布是Bayesean分析的需要.

設定先驗分布時的幾點假設

1.連通性(Connectivity)，又稱可比性

即事件A和B發生的似然性likelihood是可以比較的：

A>L B或A L B或B>L A 必有一種也僅有一種成立.

** A>L B讀作 A 發生的似然性大於B 發生的似然性,

A L B 讀作 A 發生的似然性與B 發生的似然性相當。

2.傳遞性(Transitivity)

若對事件A，B，C , A >L B， B >L C 則A >L C

3. 部分小於全體：若A?B則BL A

例：設定明年國民經濟成長率時：

①A：8～11% B：12～15% C：15～20%

若 A >L B， B >L C ， 則 A >L C

② A：8～11% D：8～10% 必有D >L A

離散型隨機變數先驗分布的設定

1.對各事件加以比較確定相對似然率

例1. 考博士生 E：考取 E：考不取

若P(E)=2P(E) 則P(E)=2/3 P(E)=1/3

例2。某地氣候狀況：正常年景θ1，旱θ2，澇θ3

正常與災年之比：3∶2 則P（θ1)=0.6

水旱災之比1∶1 P(θ2)=P(θ3)=0.2

該法適用於狀態數較少的場合

2.打賭法

設 事件E發生時收入P，（0 <P <1） 且 E\c=(1—P)

調整P，使決策人感到兩者無差異為止, 則：P(E)=P

連續型RV的先驗分布的設定

1.直方圖法

·該法適用於θ取值是實軸的的某個區間的情況

·步驟：①,將區間劃分子區間θi…離散化

②設定每個子區間的似然率π(θi)…賦值

③變換成機率密度曲線

例如：明年國民經濟的增長率

·缺點：①子區間的劃分沒有標準

②賦值不易

③尾部誤差過大

2.相對似然率法

·適用範圍：同1

步驟：①離散化

②賦值：給出各區間似然的相對比值

③規範化：

例如：同1

A. 相對似然率R 似然率π(A)

子區間8～9% 10 10/ΣR

7～8 9 9/ΣR

9～10 7.5 7.5/ΣR

B. 決策者給出每二個狀態似然率的比例關係

aij= pi/pj (1)

應有

aij= 1/aji (2)

aij=aik.akj (3)

在(3)式不滿足時，可用最小二乘法估計決策人心目中真正的主觀機率分布Pi i=1,…，n

即求規劃問題

min{∑∑(aijpj - pi)}

s.t. ∑pi= 1 , pi≥0

*用拉格朗日乘數法,構造拉格朗日函式

L=

上式對 ，i=1,2…n求偏導數，並令其為0，得：

l=1,2,…,n.

與 聯列，構成n+1階齊次方程組，求得Pi, i=1,…，n

3.區間對分法

·適用範圍：可以是開區間

·步驟：①求中位

②確定上、下四分位點(quartile fractile)

③由於誤差積累,最多確定八分位點(Eighth fractile)

例：產品銷售量(預計明年)

·缺點：精度差

4.與給定形式的分布函式相匹配

這是最常用，且常常被濫用的方法

·步驟：①選擇一個與先驗信息匹配得最好的函式

如正態，泊松，β，e-Cauchy分布等

例：a)在單位時間以恆常的平均比率入出現，則在T單位長度時間內該事件出現的次數服從Poisson分布

2-4

b)若影響某一隨機變數的因素很多而每一因素的作用均不顯著，則該變數服從常態分配。例如，測量誤差，彈落點，人的生理特徵的度量，農作物產量等均服從常態分配。

c)事件A出現的機率為P，n次獨立試驗出現r次A的機率b(p,r,n)= . 即服從二項分布。

②參數估計：

A.矩法：N(μ,σ) Be(α，β)

·缺點：尾部估計不準，但對矩的影響卻很大

B.分位數：利用幾個分位點和現成的機率密度

函式分位數表，估計參數並檢驗。

5. 機率盤法(dart)

用園盤中的扇形區表示抽獎事件, 透用於西方管理人員

·注意：狀態的機率或機率分布不是也不應富由決策分析人員來設定，而應當由決策人和有關問題專家提供基本信息。

理由：

無信息先驗分布

為什麼要研究無信息先驗

·Bayesean法需要有先驗分布，貝葉斯法的簡明性使人在無信息時也想用它。

如何設定無信息先驗分布

1.位置參數

隨機變數X的機率密度函式形如f(x-θ)時θ∈ 稱為位置參數

其無信息先驗 π(θ)必為一常數

2.標度參數

X的密度函式為1/σf(x/σ)σ>稱為標度密度σ稱為標度參數

其無信息先驗π(σ)=1/σ

利用過去的數據設定先驗分布

有θ的統計數據

為能獲得θ的觀察值θi i=1,…,n的數據，則可：

①通過直方圖勾劃出先驗分布

②選取可能的函式形式作為先驗分布，再定參數

③求頻率(離散RV)

狀態θ不能直接觀察時

若直接觀察的只是與 有關的 (通常都是如此)則要從 中獲取 的先驗信息很困難： 的分布是隨邊緣分布m(.)而定的：

m(x)= 或m(x)=

X、Θ的聯合密度是h(x,θ)=f(x|θ)μ(θ)

由 估計m(x)不難，但即使f(x|θ)已知，由此估計μ(θ