不適定Hammerstein運算元方程的多尺度快速算法

《不適定Hammerstein運算元方程的多尺度快速算法》是依託中山大學，由楊宏奇擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：不適定Hammerstein運算元方程的多尺度快速算法
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：楊宏奇
• 依託單位：中山大學

中文摘要

不適定問題與反問題的研究是數學和系統科學研究中的一個前沿領域，出現於眾多數學物理套用領域中,其解法研究尤其是高性能數值方法對於科學和工程計算具有重要的理論意義和套用價值。本課題研究不適定Hammerstein運算元方程自適應、多尺度的正則化方法及其相關的快速算法。重點研究多層擴充快速算法和多層疊代算法，基本思想是藉助傳統的投影方法與多尺度分析，結合矩陣壓縮技術，將非線性運算元分解為低頻部分與高頻部分,求解方程時，僅在固定的低頻部分求解，而高頻部分用於誤差補償。同時探討套用快速算法過程中Hammerstein運算元所應滿足的一系列分析性質。這種算法能保持高精度同時計算複雜度仍是擬線性的。我們還研究多尺度近似正則運算元的構造、自適應算法的設計、最優正則參數的選取。

結題摘要

本課題研究不適定問題的快速方法。我們先研究一般線性不適定問題的多尺度快速算法，將Tikhonov正則化方程轉化為等價的耦合方程組，並對耦合方程組提出快速多尺度配置方法，此種處理方法避免了計算兩個積分運算元的複合運算元，計算複雜度降低為擬線性複雜度，這是高維問題計算的新算法。接著我們研究了求解變型的Hammerstein積分方程的多層擴充算法，並將其推廣到非線性項滿足二階導數連續的情況。然後結合矩陣壓縮技術，研究了一類非線性不適定單調Hammerstein運算元方程自適應、多尺度的多層擴充法。在一定條件下， 得到正則解的收斂性、最優收斂率，並給出最優正則參數的選取。此外，我們還對Helmholtz方程數值求解法、有限體積法等進行了研究。