《不定譜問題及位渦動力系統穩定性的研究》是依託山東大學，由綦建剛擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：不定譜問題及位渦動力系統穩定性的研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：綦建剛
- 依託單位：山東大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
微觀和巨觀的非對稱力學現象遠比相應的對稱力學現象廣泛得多，但是其研究較少且很不徹底，原因是對非對稱運算元的譜理論缺少系統有效的方法。本項目將研究一類特殊的非對稱運算元-不定Sturm-Liouville運算元的譜問題，並將所得的新成果套用到地球流體力學中的動力系統的穩定性研究中。本項目將聯合使用自伴運算元理論、非自伴運算元譜理論、運算元擾動理論和複變函數理論， 利用多譜參數方法、局部對稱變換方法和解析開拓方法等一系列新的方法建立不定譜問題的特徵值位置判定、漸近分布估計、特徵函式的零點分布和連續譜的一系列新結果， 進而獲得位渦動力系統在非光滑連續基流速度場下的穩定和失穩結果，得到不穩態的存在性及界的估計。項目組主要成員多年研究哈密頓微分系統的譜理論，有堅實的工作基礎。我們將廣泛使用哈密頓微分運算元理論，建立判定或計算對稱和非對稱運算元各類譜點的新方法。
結題摘要
大量物理試驗和自然現象會產生非對稱或非自伴譜問題，而對於這類譜問題的研究至今尚未形成類似於自伴運算元那樣完備的理論體系，這就需要在數學理論上不斷發展和完善非自伴運算元譜理論。 本項目首先研究一類權函式變號的特殊非對稱譜問題——不定Sturm-Liouville特徵值問題。利用解析函式以及運算元的擾動理論，結合雙譜參數方法，本項目將建立譜曲線與非實特徵值之間的關係，分別利用譜曲線的幾何性質和代數性質，得到不定問題非實特徵值存在的充分條件及存在個數的估計。並且，套用分析與測度論的方法及Krein空間理論，僅僅在係數函式滿足可積性條件下，得到不定Sturm-Liouville譜問題非實特徵值上、下界的估計。從而解決了Mingarelli於1986年提出的關於不定問題非實特徵值存在性的問題。 其次，本項目利用上述不定譜問題的研究方法和結論，對地球流體力學中位渦動力系統不穩性問題進行研究。地球流體力學中位渦動力系統不穩態的刻畫，被轉化成不定Sturm-Liouville譜問題非實特徵值存在性問題。利用不定問題非實特徵值存在的充分條件和存在個數的估計，本項目在流體不光滑且不滿足對稱條件時，給出位渦動力系統存在不穩態的充分條件，及不穩態存在的確切個數，從而將豐富了動力系統穩定性研究的理論基礎。
