上半連續分解空間(upper semi-continuous decomposition space)是一類拓撲空間。商空間是上半連續分解空間的充分必要條件是自然映射為閉映射。上半連續分解空間的概念是穆爾(Moore，R.L.)於20世紀20年代末期引入的。
基本介紹
- 中文名：上半連續分解空間
- 外文名：upper semi-continuous decomposition space
- 領域：數學
- 性質：一類拓撲空間
- 提出者：穆爾
- 提出時間：20世紀20年代末期
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概念
上半連續分解空間(upper semi-continuous decomposition space)是一類拓撲空間。設D為拓撲空間X的商空間。若對於D中任意元素D和X中包含D的任意開集U，存在開集V使得D
V
U，其中V是D中某些元的並，則稱D為上半連續分解空間。商空間是上半連續分解空間的充分必要條件是自然映射為閉映射。上半連續分解空間的概念是穆爾(Moore，R.L.)於20世紀20年代末期引入的。
拓撲空間
歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。
此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。
分解空間
分解空間是一類拓撲空間。拓撲空間X的分解F是滿足以下條件的集族：F由X的兩兩不相交的非空閉集組成，並且F構成X的覆蓋。給定空間X的分解F，在X上可引入下述等價關係～：對於x，y∈X，若存在某個F∈F同時含有x，y，則規定x～y，此時，商空間X/～稱為分解空間。
商空間
商空間是一類重要的拓撲空間。若(X，T)是拓撲空間，R是X上的等價關係，X/R是X關於R的商集，則使得自然映射p：X→X/R為連續的X/R上的最細拓撲，即TR={U
X/R|p-1(U)∈T}，稱為X/R上的商拓撲，拓撲空間(X/R，TR)稱為(X，T)關於等價關係R的商空間。商空間首先出現在穆爾(Moore，R.L.)於1925年發表的論文和亞歷山德羅夫(Александров，П.С.)於1927年發表的論文中，兩位作者僅討論了特殊情形，即由上半連續分解確定的商空間.商空間的一般概念及商映射的概念是由比爾(Baer，R.W.)和列維(Levi，E.E.)於1932年引入的.布爾巴基(Bourbaki，N.)於1940年與1951年出版的書中首先系統討論了商空間。
