《三維雙曲流形的球面CR結構》是依託湖南大學，由蔣月評擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：三維雙曲流形的球面CR結構
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：蔣月評
- 依託單位：湖南大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
球面CR幾何是三維球面在CR變換群PU（2,1）作用下的不變幾何，本項目的主要目的是研究一些三維雙曲流形（如：Whitehead 鏈環的補、 Gieseking 流形、類似於八字扭結補的流形等）的球面CR幾何。具體地說，給定流形的一個理想三角剖分，我們將通過利用粘合CR四面體的方法來研究三維雙曲流形的基本群到PU（2,1）中的表示；分析這些表示的離散性；討論球面CR結構的存在性。另外，對於已得到的離散表示，我們將從離散群作用於復雙曲空間的角度研究三維雙曲流形的球面CR幾何，即通過構造離散群的基本域，考慮其不連續集在群作用下的商空間的拓撲。
結題摘要
我們主要研究了八字紐結的補及其姊妹流形等三維流形的球面CR結構、復雙曲三角群、三維Picard模群及其姊妹群等內容。 為了回答哪些三維流形具有球面CR結構這個問題，我們可以從兩個方向進行研究：其一是從復雙曲空間的內部，即考慮一個離散子群作用於復雙曲空間，若不連續集非空，則該不連續集在該離散子群作用下的商空間將給出一個球面CR流形；其二是從復雙曲空間的外部，即給定一個三維流形，考慮其三角剖分在球面CR幾何中的實現，從而獲得一個展開映射以及與之相容的和樂表示，根據定義，展開映射加上與之相容的和樂表示將給出流形的球面CR結構。一個很自然的觀察是兩個方向上都離不開三維流形的基本群到復雙曲空間等距變換群的表示。 針對方向二，我們研究了八字紐結的補及其姊妹流形的基本群到復雙曲空間等距變換群的兩個離散的表示。我們證明了對於八字紐結的補的表示是一個球面CR結構的和樂表示，這表明該流形具有球面CR結構；對於其姊妹流形的表示，我們證明其極限集是復雙曲空間的邊界。我們的結果表明，至少對於三角剖分比較簡單的三維流形，方向二是可行的。特別地，該表示實際上是一個三角群，同時還是一個Picard模群的無限次子群。 根據上述發現以及Schwartz的關於具有球面CR結構的三維流形的發現，我們猜測離散的復雙曲三角群是否都會給出一個具有球面CR結構的三維流形。基於此，我們研究了復雙曲（3，3，n）三角群，其中n是大於4的正整數，我們給出了所有離散忠實的復雙曲（3，3，n）三角群，該結果是對Schwartz的一個猜想的部分回答。值得一提的是，當n等於4時，其給出的流形是八字紐結的補；當n等於5時，其給出的流形是一個非緊的三維流形；當n是無窮大時，其給出的流形則是Whitehead連環的補。 此外，我們在復雙曲空間等距變換群的離散子群方面取得了一些重要進展。我們研究了三維Gauss-Picard模群。Picard模群是復雙曲空間等距變換群中一類重要的算術格，其作用在復雙曲空間上的商空間是一個復雙曲軌形，依據代數幾何的語言，其商空間是Shimura簇。通過考慮群作用於復雙曲空間的幾何，我們給出三維Gass-Picard模群的一組有限的生成元。這是我們理解高維復雙曲算術格的重要一步。
