《三維切觸拓撲，Heegaard Floer同調，和範疇化》是依託清華大學，由田垠擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：三維切觸拓撲，Heegaard Floer同調，和範疇化
- 依託單位：清華大學
- 項目負責人：田垠
- 項目類別：青年科學基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
最近十幾年中，Heegaard Floer同調和三維切觸拓撲，以及範疇化是低維拓撲中兩個非常活躍的研究方向。其中，前者側重於拓撲，而後者側重於表示論。本次申請的項目主要研究兩個方向之間的聯繫，特別是套用Heegaard Floer同調和三維切觸拓撲構造量子sl(1|1)以及與其相關的代數結構的範疇化。主要的工具是Honda利用加厚的曲面上的三維切觸拓撲所定義的切觸範疇。具體的研究內容包括：給切觸範疇一個完全代數的定義，討論其代數性質以及與Heegaard Floer同調之間的關係； 利用切觸範疇構造量子sl(1|1)及其表示的範疇化，尤其強調切觸範疇中的典範基的作用。
結題摘要
主要的研究內容是給出切觸範疇一個嚴格的定義，包括拓撲的和代數的，並精確描述兩種定義之間的關係。進一步利用切觸範疇，研究與範疇化相關的代數上的套用，包括無窮維Clifford代數，波色費米對應，分數1/2，以及sl(2)的指數映射等的範疇化構造。其中，無窮維Clifford代數與量子sl(1|1)有著緊密的聯繫。一個主要結果是與Honda合作，給出了切觸範疇在一般曲面情形的拓撲定義。對曲面是圓盤的特殊情況，我們證明拓撲上定義的加法範疇可以自然的嵌入到代數上定義的三角範疇。這是對拓撲的切觸範疇與代數的三角範疇之間關係最精確的刻畫。另一個重要結果是利用切觸範疇，在曲面是無窮帶狀區域的情形，給出了無窮維Clifford代數和波色費米對應的一個範疇化。作為套用，與Khovanov合作，分別給出了分數1/2，和sl(2)在指數映射下的像的一個範疇化。
