三元三次不定方程

三元三次不定方程(ternary cubic indeterminate equation)是幾個著名的三元三次不定方程。不定方程中比較成熟的方法是處理兩個變元的不定方程，三個變元以上的高次不定方程，常常是很困難的。例如，關於三元三次不定方程x³+y³+z³=xyz無xyz≠0的整數解，曾經很長時間使數學家們束手無策，直到20世紀60年代，柯召(1960年)和卡塞爾斯(J.W.S.Cassels)(1962年)才分別獨立地證明了這個問題，同時解決了謝爾品斯基(W.Sierpiski)認為是很難的一個猜想：不存在三個有理數，它們的和與積都能等於1，亦即不定方程x+y+z=xyz=1不存在有理數解。

基本介紹

• 中文名：三元三次不定方程
• 外文名：ternary cubic indeterminate equation
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：初等數論(不定方程) 
• 簡介：關於幾個著名的三元三次不定方程

基本介紹

設f(x，y，z)是一個整係數三元三次多項式，方程

稱為三元三次不定方程，對方程(1)的解，迄今人們所知甚少。某些結果僅僅給出(1)的一些特殊情況的部分整數解，而不是全部解。

相關結論及證明

在三元三次不定方程中，最簡單而且又是最重要的方程為

其中n為整數，對某些n，方程(2)有無窮多組整數解，而對另一些n，方程(2)亦可能無整數解。例如：

1.當n=a³時，方程(2)有無數多組整數解，其解可表示為(x，y，z)=(t，-t，a)或

(9at⁴，3at-9at⁴，a-9at³)，t∈Z.

2.當n=2a³時，方程(2)也有無數多組整數解，可表示為

(x，y，z)=(a(1+6t³)，a(1-6t³)，-6at²).

3.當n≡±4(mod 9)時，方程(2)無解。這是因為

所以，即(2)沒有解。

對於方程(2)，還有一些迄今尚未解決的問題。例如，已知當n=3時，方程(2)有4個整數解為(x，y，z)=(1，1，1)，(4，4，-5)，(4，-5，4)，(-5，4，4)，尚不知道是否還有其他解。又如當n=30,已經解決（x,y,z）=（2220422932, -283059965 ,-2218888517)。當n=33,也已經解決(x,y,z)=(8866128975287528 ,-8866128975287528 ,-8778405442862)

討論(1)的一個簡單情形，不定方程

當a=b=1，c=-1時，(3)有無窮多個解。而且證明很容易，只需令x=1+ω，y=1-ω，代入z²=x³+y³-1得

方程(3)是熟知的Pell方程，有無窮多組整數解z，ω，因而a=b=1，c=-1時，(3)有無窮多組解。

另外，對三元三次不定方程ax³+ay³+bz³=bc³，abc≠0，已知在平凡解x+y=0，z=c外，還有無窮多組整數解。