斐波那契數，亦稱之為斐波那契數列（義大利語： Successione di Fibonacci)，又稱黃金分割數列、費波那西數列、費波拿契數、費氏數列，指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在數學上，斐波那契數列以如下被以遞歸的方法定義：F0=0，F1=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n>=2，n∈N*），用文字來說，就是斐波那契數列由 0 和 1 開始，之後的斐波那契數列係數就由之前的兩數相加。
基本介紹
- 中文名：斐波那契數
- 外文名：Successione di Fibonacci
- 又稱：黃金分割數列、費波那西數列
- 性質：數列
- 遞推公式：Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）
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來源
首先介紹斐波那契數列，斐波那契數列的排列是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……
依次類推下去，你會發現，它後一個數等於前面兩個數的和。在這個數列中的數字，就被稱為斐波那契數。2是第3個斐波那契數。這個級數與大自然植物的關係極為密切。幾乎所有花朵的花瓣數都來自這個級數中的一項數字：鳳梨表皮方塊形鱗苞形成兩組旋向相反的螺線，它們的條數必須是這個級數中緊鄰的兩個數字（如左旋8行，右旋13行）；還有向日葵花盤……倘若兩組螺線條數完全相同，豈不更加嚴格對稱？可大自然偏不！直到最近的1993年，人們才對這個古老而重要的級數給出真正滿意的解釋：此級數中任何相鄰的兩個數，次第相除，其比率都最為接近0.618034……這個值，它的極限就是所謂的"黃金分割數"。
特別指出：0不是第一項，而是第零項。在現代物理、準晶體結構、化學等領域，斐波納契數列都有直接的套用，為此，美國數學會從1960年代起出版了《斐波納契數列》季刊，專門刊載這方面的研究成果。
定義
斐波那契數列指的是這樣一個數列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
這個數列從第三項開始，每一項都等於前兩項之和。
斐波那契數列的發現者，是義大利數學家列昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），生於公元1170年，卒於1240年，籍貫是比薩。他被人稱作“比薩的列昂納多”。1202年，他撰寫了《珠算原理》（Liber Abacci）一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業團體聘任為外交領事，派駐地點相當於眼下的阿爾及利亞地區，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導下研究數學。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯研究數學。
公式
遞推公式
斐波那契數列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
如果設F(n）為該數列的第n項（n∈N+）。那么這句話可以寫成如下形式：
顯然這是一個線性遞推數列。
通項公式
(如上，又稱為“比內公式”，是用無理數表示有理數的一個範例。)
註：此時a1=1，a2=1，an=an-1+an-2（n>=3,n∈N*）
公式推導
方法一：利用特徵方程（線性代數解法）
線性遞推數列的特徵方程為：
解得
則F(n)=C1*X1n + C2*X2n。
C1*X1 + C2*X2。
解得
。
∴
（√5表示根號5）。
方法二：待定係數法構造等比數列1（初等代數解法）
設常數r，s。
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
則r+s=1， -rs=1。
n≥3時，有。
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。
……
F⑶-r*F⑵=s*[F⑵-r*F⑴]。
聯立以上n-2個式子，得：
F(n)-r*F(n-1)=[sn-2]*[F⑵-r*F⑴]。
∵s=1-r，F⑴=F⑵=1。
上式可化簡得：
F(n)=sn-1+r*F(n-1)。
那么：
F(n)=sn-1+r*F(n-1)。
= sn-1+ r*sn-2+ r*F(n-2)。
= sn-1+ r*sn-2+ r*sn-3+ r*F(n-3)。
……
= sn-1+ r*sn-2+ r*sn-3+……+ rn-2*s + rn-1*F⑴。
= sn-1+ r*sn-2+ r*sn-3+……+ rn-2*s + rn-1。
（這是一個以sn-1為首項、以rn-1為末項、
為公比的等比數列的各項的和）。
=
。
=
。
r+s=1， -rs=1的一解為
。
則
。
方法三：待定係數法構造等比數列2（初等代數解法）
已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求數列{an}的通項公式。
解 ：設an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。
得α+β=1。
αβ=-1。
構造方程x-x-1=0，解得
或。
所以。
由式1，式2，可得。
將式③* 
-④
，化簡得
。
關係
它有一個遞推關係，
f(1)=1
f(2)=1
f(n)=f(n-1)+f(n-2),其中n>=2
3f(n)=f(n+2)+f(n-2)
數列
(n=1,2,3……）
這個通項公式中雖然所有的an都是正整數，可是它們卻是由一些無理數表示出來的。
遊戲
有一種兩人遊戲，名叫“尼姆”。遊戲方法是由兩個人輪流取一堆粒數不限的砂子。先取的一方可以取任意粒，但不能把這堆砂子全部取走。後取的一方，取數也多少不拘，但最多不能超過對方所取砂子數的一倍。然後又輪到先取的一方來取，但也不能超過對方最後一次所取砂子的一倍。這樣交替地進行下去，直到全部砂子被取光為止，誰能拿到最後一粒砂子，誰就算勝利者。在這個遊戲中，永遠都是後選者勝。
例子
4不是斐波那契數。
A只能取1，B取1
A取1，B取得勝利
相關套用
生物套用
斐波那契數列中的斐波那契數會經常在我們的眼前出現——比如松果、鳳梨、樹葉的排列、某些花朵的花瓣數（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越數e（可以推出更多），黃金矩形、黃金分割、等角螺線，十二平均律等。
斐波那契數在植物葉片排列中展現斐波那契數與植物花瓣
3………………………百合和蝴蝶花
5………………………藍花耬斗菜、金鳳花、飛燕草、毛茛花
8………………………翠雀花
13………………………金盞和玫瑰
21………………………紫宛
34、55、89……………雛菊
斐波那契數還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發現。例如，在樹木的枝幹上選一片葉子，記其為數0，然後依序點數葉子（假定沒有折損），直到到達與那些葉子正對的位置，則其間的葉子數多半是斐波那契數。葉子從一個位置到達下一個正對的位置稱為一個循回。葉子在一個循回中旋轉的圈數也是斐波那契數。在一個循回中葉子數與葉子旋轉圈數的比稱為葉序（源自希臘詞，意即葉子的排列）比。多數的葉序比呈現為斐波那契數的比。
黃金分割
隨著數列項數的增加，前一項與後一項之比越來越逼近黃金分割的數值1:1.6180339887……
前一項 | 後一項 | 比例 | 與黃金分割率的差值 |
1 | 1 | 1:1 | 0.61803 |
1 | 2 | 1:2 | 0.38197 |
2 | 3 | 1:1.5 | 0.11803 |
3 | 5 | 1:1.66667 | 0.04864 |
5 | 8 | 1:1.6 | 0.01803 |
8 | 13 | 1:1.625 | 0.00697 |
13 | 21 | 1:1.61538 | 0.00265 |
21 | 34 | 1:1.61905 | 0.00102 |
34 | 55 | 1:1.61765 | 0.00038 |
55 | 89 | 1:1.61818 | 0.00015 |
89 | 144 | 1:1.61797 | 0.00006 |
144 | 233 | 1:1.61805 | 0.00002 |
...... | ...... | 越來越接近黃金分割率 | 越來越接近0 |
楊輝三角
將楊輝三角左對齊，成如圖所示排列，將同一斜行的數加起來，即得一數列1、1、2、3、5、8、……
楊輝三角左對齊
公式表示如下：
f⑴=C(0,0)=1。
f⑵=C(1,0)=1。
f⑶=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。
f⑷=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。
f⑸=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。
f⑹=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。
F⑺=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。
……
F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m) (m<=n-1-m)
質數數量
斐波那契數列的整除性與素數生成性
每3個連續的數中有且只有一個被2整除，
每4個連續的數中有且只有一個被3整除，
每5個連續的數中有且只有一個被5整除，
每6個連續的數中有且只有一個被8整除，
每7個連續的數中有且只有一個被13整除，
每8個連續的數中有且只有一個被21整除，
每9個連續的數中有且只有一個被34整除，
.......
我們看到第5、7、11、13、17、23位分別是素數：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）
斐波那契數列的素數無限多嗎？
尾數循環
斐波那契數列的個位數：一個60步的循環
11235,83145,94370,77415,61785.38190,
99875,27965,16730,33695,49325,72910…
進一步，斐波那契數列的最後兩位數是一個300步的循環，最後三位數是一個1500步的循環，最後四位數是一個15000步的循環，最後五位數是一個150000步的循環。
自然界中
自然界中的斐波那契數列斐波那契數列在自然科學的其他分支，有許多套用。例如，樹木的生長，由於新生的枝條，往往需要一段“休息”時間，供自身生長，而後才能萌發新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以後長出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發；此後，老枝與“休息”過一年的枝同時萌發，當年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹木各個年份的枝椏數，便構成斐波那契數列。這個規律，就是生物學上著名的“魯德維格定律”。
另外，觀察延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以發現它們花瓣數目具有斐波那契數：3、5、8、13、21、……
斐波那契螺旋：具有13條順時針旋轉和21條逆時針旋轉的螺旋的薊的頭部這些植物懂得斐波那契數列嗎？應該並非如此，它們只是按照自然的規律才進化成這樣。這似乎是植物排列種子的“最佳化方式”，它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當，不至於在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。葉子的生長方式也是如此，對於許多植物來說，每片葉子從中軸附近生長出來，為了在生長的過程中一直都能最佳地利用空間（要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長出來，而不是一下子同時出現的），每片葉子和前一片葉子之間的角度應該是222.5度，這個角度稱為“黃金角度”，因為它和整個圓周360度之比是黃金分割數0.618033989……的倒數，而這種生長方式就決定了斐波那契螺旋的產生。向日葵的種子排列形成的斐波那契螺旋有時能達到89，甚至144條。
數字謎題
自然界中的斐波那契數列三角形的三邊關係定理和斐波那契數列的一個聯繫：
現有長為144cm的鐵絲，要截成n小段（n>2），每段的長度不小於1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，則n的最大值為多少？
分析：由於形成三角形的充要條件是任何兩邊之和大於第三邊，因此不構成三角形的條件就是任意兩邊之和不超過最大邊。截成的鐵絲最小為1，因此可以放2個1，第三條線段就是2（為了使得n最大，因此要使剩下來的鐵絲儘可能長，因此每一條線段總是前面的相鄰2段之和），依次為：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各數之和為143，與144相差1，因此可以取最後一段為56，這時n達到最大為10。
我們看到，“每段的長度不小於1”這個條件起了控制全局的作用，正是這個最小數1產生了斐波那契數列，如果把1換成其他數，遞推關係保留了，但這個數列消失了。這裡，三角形的三邊關係定理和斐波那契數列發生了一個聯繫。
在這個問題中，144>143，這個143是斐波那契數列的前n項和，我們是把144超出143的部分加到最後的一個數上去，如果加到其他數上，就有3條線段可以構成三角形了。
影視作品
影視作品中的斐波那契數列：
斐波那契數列在歐美可謂是盡人皆知，於是在電影這種通俗藝術中也時常出現，比如在風靡一時的《達文西密碼》里它就作為一個重要的符號和情節線索出現，在《魔法玩具城》里又是在店主招聘會計時隨口問的問題。可見此數列就像黃金分割一樣流行。可是雖說叫得上名，多數人也就背過前幾個數，並沒有深入理解研究。在電視劇中也出現斐波那契數列，比如：日劇《考試之神》第五回，義嗣做全國模擬考試題中的最後一道數學題~在FOX熱播美劇《Fringe》中更是無數次引用，甚至作為全劇宣傳海報的設計元素之一。
