割線

一條直線與一條弧線有兩個公共點，我們就說這條直線是這條曲線的割線。 與割線有關的定理有：割線定理、切割線定理。常運用於有關於圓的題中。

基本介紹

• 中文名：割線
• 外文名：Secant Theorem
• 相關定律：割線定理、切割線定理
• 用途：有關於圓的題
• 定義：一條直線與一條弧線有兩個公共點

割線定理

定義

從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等。

從圓外一點P引兩條割線與圓分別交於C,B,D,E,則有 PC·PB=PD·PE。如圖1所示。(PA是切線）

割線定理為圓冪定理之一(切割線定理推論），其他二為切割線定理和相交弦定理。

證明

如圖2，直線PB和PE是自點P引的⊙O的兩條割線，則PC·PB=PD·PE。

圖2

證明：連線CE、DB，

∵∠E和∠B都對弧CD，

∴由圓周角定理，得 ∠E=∠B。

又∵∠EPC=∠BPD，

∴△PCE∽△PDB，

∴PC:PD=PE:PB, 也就是PC·PB=PD·PE。

比較

割線定理與相交弦定理，切割線定理通稱為圓冪定理。

切割線定理

定義

從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。是圓冪定理的一種。

幾何語言

∵PT切⊙O於點T，PBA是⊙O的割線，

∴PT的平方=PA·PB（切割線定理）推論：

從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。

∵PBA，PDC是⊙O的割線，

∴PD·PC=PA·PB（切割線定理推論）(割線定理）。

由上可知：PT的平方=PA·PB=PC·PD。

證明

設ABP是⊙O的一條割線，PT是⊙O的一條切線，切點為T，則PT²=PA·PB

證明：連線AT, BT。

∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)，

∠P=∠P(公共角)。

∴△PBT∽△PTA(兩角對應相等,兩三角形相似)。

則PB：PT=PT：AP。

即：PT²=PB·PA。

比較

相交弦定理、切割線定理及割線定理(切割線定理推論)以及他們的推論統稱為圓冪定理。一般用於求直線段長度。

解析割線

人們研究複數域上的解析函式時，常常需要研究函式在整個複平面的性質。然而，有些解析函式定義在複平面上時，表現出多值的性質,這樣的函式往往從一個點經過某些曲線回到這個點時，解析變化的函式值會跑到多值中另外的值上面。這樣的函式一方面可以採用黎曼曲面作為定義域，使得函式變為單值，另一方面，也可人為地在複平面上畫上一條線將複平面合適地割開，使得未被割開的區域內具有單值解析函式的良好性質。這樣的人為劃出的避免函式解析變化必然出現多值的線就叫割線。