t-係數法在特殊函式與模形式的套用

項目摘要

（組合恆等式）超幾何級數、基本超幾何級數和theta-橢圓超幾何級數是特殊函式理論重要的組成部分.模形式是theta函式與橢圓函式的本質推廣.它們都是研究解析數論不可或缺的理論基礎與工具.本項目將圍繞作者近期提出的t-係數法來展開對特殊函式理論與模形式的研究.主要內容包括:利用組合反演方法建立theta-橢圓超幾何級數的變換與求和公式;有限個theta 函式之積的傅立葉級數展開;Ramanujan關於theta函式的循環和式一般顯式表達式的建立;研究Abelian橢圓函式與Jacobian橢圓函式理論與方法之間的相互關係;並探索相關結論在自然數平方和表示與整數分拆等組合與解析數論問題上的套用.

結題摘要

本項目主要研究t-係數法以及其在模形式(包括特殊函式特別是基本超幾何級數)中的套用. 為此我們先後提出了Bailey運算元法與參數運算元法等有價值的思想方法. 主要內容是：1.對組合反演理論本身的完善和補充: 一是證明了徐利治教授提出的 (a,b)-反演是充分而非必要的, 同時也討論了它與(f,g)-反演的區別與聯繫; 二是作為非線性反演的新研究成果, 還建立了一類廣泛的、與Bell多項式相關聯的非線性反演公式; 對每一種新的反演都給出了它們在基本超幾何級數求和變換上的具體套用.2.建立(1-xy,y-x)-展開公式. 包括該展開公式的嚴格證明, 以及在基本超幾何級數中的套用, 其中包括涉及Well-posied Bailey對的一個一般性對稱變換, 其包括Askey-wilson多項式的生成函式.3.在歸納總結基本超幾何級數理論中的Bailey對、 Bailey引理的現有方法的基礎上, 首次提出了所謂的Bailey運算元的概念及方法並且成功推導出基本超幾何級數求和與變換公式.4.針對基本超幾何級數的形式與內容, 提出了一種視參數為變數的新觀點, 引入了參數運算元的概念, 建立了一系列基本性質, 比較系統地建立了參數運算元法的理論. 緊接著, 圍繞兩類具體的基本超幾何級數, 給出了一些具體的參數運算元並深入研究了由它們所能產生出的級數變換. 其中有很多結果都具有原創性.5.討論了特殊函式理論中的一類特殊無窮級數--部分theta 函式. 圍繞Andrews和Warnaar建立的一系列恆等式, 建立了所謂的部分theta函式的二元表示. 作為套用之一給出了這些恆等式的統一證明.

t-係數法在特殊函式與模形式的套用

基本介紹

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