《p.c.f.自相似集上的函式與Dirichlet型及相關問題》是依託浙江大學，由阮火軍擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：p.c.f.自相似集上的函式與Dirichlet型及相關問題
- 依託單位：浙江大學
- 項目負責人：阮火軍
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究內容包括：(1) p.c.f.自相似集上分形插值函式的性質。期望用.縱向尺度因子刻畫這類函式具有有限能量的充要條件，並考察它們的法嚮導數和Laplacian。.期望刻畫分形插值函式與Green函式的關係，並利用分形插值函式考察預解核。.(2) p.c.f.自相似集上的熱點猜想。熱點猜想涉及帶有Neumann邊界條件的拉普拉斯.運算元的第二特徵函式。期望在定義域為p.c.f.自相似集的情形下，嘗試證明，這類函式的最值是否一定在邊界上達到。.(3) p.c.f.自相似集上Dirichlet型的存在性與唯一性。此外，也將研究如何在Sierpinski地毯上定義Dirichlet型。.(4).局部域上的分形插值。將與p.c.f.自相似集上的分形插值相比較。也將定義局部域上的分形插值函式與Green函式，並給出實際套用的例子。
結題摘要
分形上的分析是分形理論研究中的一個重要方向，本項目主要研究該方向中的以下內容：p.c.f.自相似集上的熱點猜想、分形插值函式、Dirichlet型的存在性與唯一性，以及局部域上的分形插值及相關問題。 在基金的支持下，我們得到了以下研究計畫內的成果： （1）、在“熱點猜想”問題上，利用譜提取算法，證明了該猜想在三等分Sierpinski墊片上成立（2013年發表）；2016年，進一步證明了熱點猜想在高維Sierpinski墊片上成立（已發表）。同時我們還證明，熱點猜想在hexagasket上不成立（已投稿）. （2）、對於p.c.f.自相似集上的分形插值函式，我們用簡潔的方式給出了它們具有有限能量的充分必要條件，然後我們研究了具有一致縱向尺度因子的分形插值函式的Laplacian（已投稿）。此外，我們研究了分形插值函式的最大最小值。（已投稿）。 （3）、Martin邊界與Dirichlet型的研究有著密切關係。在這一方面，我們對於不變集為單位閉區間的疊代函式系，討論了其上有限個詞的轉移機率。我們給出了轉移機率滿足Harnack不等式的充分必要條件（2015年發表）。 （4）、在局部域上定義了分形插值函式，並研究了它們的Holder連續性（2014年發表）。進一步，在局部域上，建立了函式的構造理論：利用擬微分運算元，引入了分形微積分的概念，並建立了Jackson逼近定理、Berstein逼近定理等（2015年發表）。 在基金的支持下，我們還得到分形理論中其它相關問題的一些成果： （5）、在Lipschitz等價性方面，取得了多項研究成果：總結了2013年之前國內外關於Lipschitz等價性方面的研究（2013年發表）；深入研究了帶有接觸結構的自相似集的Lipschitz等價性（2014年發表）；利用拓撲的方法研究了分形方塊的Lipschitz等價性（已投稿）。 （6）、給出了矩形區域上的分形插值曲面的一般構造方法，同時也給出了構造雙線性分形插值曲面的方法（2015年發表）。
