a遞歸論（a-recursion theory）是一種遞歸理論，是經典遞歸論研究。
基本介紹
- 中文名：a遞歸論
- 外文名：a-recursion theory
a遞歸論（a-recursion theory）一種遞歸理論.是經典遞歸論(研究。上函式與集合的能行性問題)將論域擴展到可允許序數上以後所形成的一種理論.
將經典遞歸論推廣到更大的無窮序數上的根本原因是因為邏輯學家們認為，遞歸論中諸如能行性、有窮性、相對遞歸性等概念不應當僅僅局限於自然數上，它們應當能夠被推廣到更大的無窮序數上.早在1938年，美國邏輯學家、數學家克林(Kleene,S.C.)就提出了用自然數集合表示一些無窮序數，這就使得人們可以在自然數上討論一些(可數)無窮序數(也就是遞歸序數).
在20世紀50至60年代，邏輯學家們得到了 ckI(第一個非遞歸序數)上的一系列結果，這些為以後的研究奠定礎，同時也推動了這一研究的發展.這一研究方向的發展動因還來自數理邏輯的其他研究方向—集合論、模型與證明論.竹內外史研究了將集合論的相容性歸約到序數理論的相容性問題.他提出了一種序數上的遞歸理論，以證明所要求的理論與相對相容性證明在某種意義上可以是能行的.並證明了美籍奧地利數學家哥德爾(Godel ,K.)的可構造域L(利用它證明了選擇公理與廣義連續統假設的相容性)可以通過能行方式同構到他的序數理論上.他的工作為過L的良好結構，在遞歸論與集合論之間建立密切的聯繫打下了基礎.從模型論的方向上，麥克弗(Machover, M.)把與遞歸論相關的模型論思想結果推廣到無窮語言1 kk，進而發展了一種在無窮正規基數上的遞歸理論，並證明了滿足性不是“算術”可定義的.從另一個角度上，克雷塞爾(Kreisel , G.)將興趣集中在可定義性與各種高等邏輯與語言的關係上，將有窮性的推廣建立在可定義性的基礎之上，而不是基數的基礎上.外，通過對這一領域的研究，邏輯學家們還希望為遞歸論找到一個公理化的途徑.
可允許序數的概念最早是由克里普克(Kripke,S. A.)引入的，他證明了 ckI與所有無窮基數都是可允許序數，並且闡明可允許序數上的有窮性概念可以用“為1。的元素”來表述.1966年至1967年，薩克斯(Sacks , G. E.)將經典遞歸論中的優先方法引入a遞歸論中，從而解決了相應於許多可允許序數的波斯特問題.其中(1972)延森(Jensen,R.)在L上的工作為a遞歸論提供了必要的工具.同年，薩克斯和辛普森(Simpson,S. G.)對所有可允許序數，完全解決了波斯特問題.
