《Toeplitz矩陣函式的快速逼近算法及其套用》是依託江蘇師範大學，由龐宏奎擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：Toeplitz矩陣函式的快速逼近算法及其套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：龐宏奎
- 依託單位：江蘇師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
矩陣函式有著非常廣泛的套用背景，考慮矩陣函式的快速逼近算法是矩陣函式問題中的一個重要研究方向。本項目主要研究Toeplitz矩陣函式與向量乘積的快速逼近算法，研究內容包括：充分利用Toeplitz矩陣的性質和特徵，設計新的快速有效的有理函式逼近算法；構建和分析新的Krylov子空間重啟動算法；研究Toeplitz矩陣函式的有理Krylov子空間算法；考慮用圍道積分法逼近Toeplitz矩陣函式與向量的乘積；擬用Toeplitz矩陣相關的工具、數值域、擾動分析或逼近論中的結果等對算法的收斂性和穩定性做細緻的分析。本項目旨在促進結構矩陣函式與向量乘積的算法的研究，為更快更精確的逼近矩陣函式與向量的乘積提供更多好的算法和理論。本項目的開展將會極大的豐富現有的研究方法和研究手段，並對矩陣理論，數值分析，逼近理論等相關領域發展提供豐富的結果和研究課題。
結題摘要
在項目執行期間，我們主要圍繞大規模Toeplitz矩陣計算問題，以期權定價中的偏微分積分方程和分數階微分方程為套用背景展開了研究。根據實際問題出來的特殊矩陣結構，設計出比一般矩陣更為快速有效的算法，並利用結構矩陣的相關工具，對算法的穩定性、有效性等進行了必要的理論分析和研究。所得主要研究結果如下：採用Krylov子空間結合位移求逆技術對塊Toeplitz和Toeplitz-like矩陣指數函式進行逼近，根據矩陣的具體結構用多重格線法或者預處理技術對其內疊代進行加速，並將算法套用於求解期權定價問題中的積分微分方程以及空間分數階偏微分方程中；考慮了期權定價問題中二維隨機波動帶跳擴散模型下的偏微分積分方程，用二次有限元結合預處理的BiCGSTAB方法進行快速求解，根據係數矩陣的Toeplitz類結構，給出了幾類預處理矩陣並對其運算效率進行了數值比較；用塊ε-循環矩陣逼近塊下三角Toeplitz矩陣給出了塊下三角Toeplitz矩陣快速逼近逆算法，對其逼近精度進行了分析，並將其有效地套用於求解時間分數階偏微分方程；利用基於Laplace變換的快速匝道積分法來求解空間分數階微分方程，根據係數矩陣的Toeplitz結構進行了譜分析，並設計了快速算法降低計算量。總的來說，課題組採用了理論分析和數值實驗有機結合的研究方法，取得了比較理想的研究結果，完成了該課題的研究任務。
