莫比烏斯反演

莫比烏斯反演是數論數學中很重要的內容，可以用於解決很多組合數學的問題。

基本介紹

• 中文名：莫比烏斯反演公式
• 外文名：Möbius inversion formula
• 提出者：奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：數論

莫比烏斯反演的引入

莫比烏斯反演是數論中的重要內容，在許多情況下能夠簡化運算。我們考慮以下求和函式：

我們需要找到和之間的關係。從和函式定義當中，我們可以知道：

那么：

從中，可以看出，若(為質數)那么，，所以，.

如果我們要讓函式滿足：

那么通過以上推導，我們可以知道，所以我們作出以下猜測：

莫比烏斯反演定理

設 和 是定義在正整數集合上的兩個函式,定義如下。

若函式滿足：

則有

莫比烏斯反演定理證明

充分性證明：

考慮到：

因此

必要性證明：

考慮到：

因此

莫比烏斯函式

定義當時，

當（為不同的質數，且次數都為1），

其餘情況

注意， 函式也為積性函式。證明略。

莫比烏斯反演的性質

性質一（莫比烏斯反演公式）：

性質二：μ(n)是積性函式

性質三：設f是算術函式，它的和函式 是積性函式，那么 f 也是積性函式。