《Lusztig 對稱子的幾何和範疇實現以及相關問題研究》是依託北京林業大學，由趙明慧擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：Lusztig 對稱子的幾何和範疇實現以及相關問題研究
- 依託單位：北京林業大學
- 項目負責人：趙明慧
- 項目類別：數學天元基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究內容為量子群和 double Ringel-Hall 代數上 Lusztig 對稱子的幾何和範疇實現. Lusztig 對稱子是研究量子群的重要工具. 幾何化是 Lusztig 定義典範基時引入的重要工具, 他利用箭圖表示空間上的反常層範疇實現了量子群的正部分. 範疇化是 Khovanov-Lauda 和 Rouquire 研究典範基時引入的重要工具, 他們利用一個代數的投射模範疇實現了量子群的正部分. 本項目擬利用幾何化和範疇化的方法研究 Lusztig 對稱子. 本項目首先會給出量子群和 double Ringel-Hall 代數的幾何與範疇實現, 然後利用肖傑和申請人給出的 Lusztig 對稱子在正部分上的限制的幾何實現, 給出整個量子群和 double Ringel-Hall 代數上 Lusztig 對稱子的幾何和範疇實現, 最後本項目會給出辮子群關係的幾何和範疇描述.
結題摘要
本項目主要研究量子群和 double Ringel-Hall 代數上 Lusztig 對稱子的幾何和範疇實現. Lusztig 對稱子是 Weyl 群中元素在量子群上的提升, 對研究量子群結構有重要作用. Ringel 引入的 Ringel-Hall 代數的合成子代數與對應的量子群正部分是同構的. Green 和肖傑給出 Ringel-Hall 代數的 Hopf 代數結構. 肖傑利用 Drinfeld double 方法定義了 double Ringel-Hall 代數, 並證明它的合成子代數與量子群同構. 利用這種同構肖傑和楊士林通過 BGP 反射函子給出了 Lusztig 對稱子的表示論實現. 鄧邦明和肖傑也定義了 double Ringel-Hall 代數上的 Lusztig 對稱子並給出其表示論描述. 幾何化是 Lusztig 定義典範基時引入的重要工具, 他利用箭圖表示空間上的反常層範疇實現了量子群的正部分. 範疇化是 Khovanov-Lauda 和 Rouquire 研究典範基時引入的重要工具, 他們利用一個代數的投射模範疇實現了量子群的正部分. 本項目首先給出了量子群正部分上 Lusztig 對稱子的幾何實現. 我們利用 Lusztig 給出的 BGP 反射函子的拓撲解釋, 構造了相應箭圖表示給出的代數簇上的層的復形的導出範疇之間的一個函子. 這個函子給出了對應 Grothendieck 群之間的一個映射. 利用量子群正部分的幾何實現, 我們得到量子群上的一個映射. 通過分析這個函子和 BGP 反射函子的關係, 我們證明了這個函子給出 Lusztig 對稱子的幾何實現. 然後我們研究了箭圖表示給出的代數簇上所有層的復形構成的導出範疇. 構造了這個範疇上的誘導函子和限制函子, 並證明這兩個函子和 antipode 函子給出這個 Grothendieck 群上的 Hopf 代數結構. 然後利用 Drinfeld double 的方法就可以給出 double Ringel-Hall 代數的幾何實現. 這時 Lusztig 層對應的部分給出量子群的整體幾何實現. 利用前面兩部分的結果, 只需要在單生成元上補充合適的定義就可以給出整體量子群和 double Ringel-Hall 上 Lusztig 對稱子的幾何實現.
