《Fourier型標架與分形譜測度》是依託中山大學，由戴欣榮擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：Fourier型標架與分形譜測度
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：戴欣榮
- 依託單位：中山大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
不同形式的基與標架是Fourier 分析及相關學科研究的中心問題，有著重要的理論意義和廣泛的套用價值。其中指數型正交基、Riesz 基及標架是最為基本也是最為重要的一類。本項目主要研究指數型標架及基於分形測度的譜與標架譜的性質刻劃。包括（1）Gabor標架的abc問題，無參型和一些特殊函式對應的單參數型Gabor 標架問題；（2）分形測度包括Bernoulli卷積、自相似測度等，對應的譜、Riesz譜與標架譜的存在性，顯式構造，代數結構以及這些譜對應的Fourier 表示級數的收斂性態。 本項目研究的內容和方法不僅依賴於傳統的Fourier分析、分形幾何，並將大量地涉及複分析、代數數論等基礎理論學科。因此，本項目的研究將為我們建立Fourier分析、分形幾何與其他理論套用學科的廣泛聯繫起著重要作用,並對建立、完善基於分形測度的Fourier分析、標架理論及其套用都有著重要的意義。
結題摘要
本項目主要研究具有指數型正交基的分形測度和帶視窗的Fourier框架，包括指數型正交基的存在性、顯式結構、表示級數的收斂性態，以及Gabor框架的性質刻畫。這是當前國際上Fourier分析的重要研究方向和熱點課題，具有重要的理論意義與套用價值。本項目主要研究具有Fourier基的分形測度和帶窗函式的Fourier框架。在本項目的支持下，申請人獲得了以下研究成果： （1）解決了Gabor分析領域的一個基本問題——Gabor框架的abc問題。這是目前為止唯一一類得到完整刻畫的緊視窗Gabor系統，實現了多年來人們對緊視窗Gabor系統進行刻畫的突破，並且在方法上引入了動力系統與分形的思想，為Gabor分析的進一步研究提供了新的思路。該文共106頁，在Memoirs AMS（2016）發表。 （2）給出了Cantor型譜測度的完整刻畫，並對譜測度的譜給出了樹形結構刻畫，以及數字集成為譜的判據等系列研究成果。這些工作分別在Adv. Math.（2014）、J. Funct. Anal.（2015）及math. Ann.（2016）上發表。 以上兩方面的工作在Gabor分析領域及譜測度領域處於國際領先地位，並受到國際同行們的高度評。 此外，申請人還有關於譜的純型性、Gabor框架在平移不變空間的套用及分形維數的等徑問題等方面還有多項研究成果。
