在群論中，凱萊定理，以阿瑟·凱萊命名，聲稱所有群G 同構於在G上的對稱群的子群。這可以被理解為G在G的元素上的群作用的一個例子。
基本介紹
- 中文名：凱萊定理
- 外文名：Cayley's theorem
- 分類：數理科學
簡介,歷史,定理證明,註記,
簡介
所有群G同構於在G上的對稱群的子群，集合G的排列是任何從G到G的雙射函式；所有這種函式的集合形成了在函式複合下的一個群，叫做“G上的對稱群”並寫為Sym(G)。
凱萊定理通過把任何群（包括無限群比如(R,+)）都當作某個底層集合的排列群，把所有群都放在了同一個根基上。因此，對排列群成立的定理對於一般群也成立。
歷史
Burnside將其歸功於Jordan，但是 Eric Nummela爭論說這個定理的名字“凱萊定理”事實上是合適的。凱萊在他最初介紹群概念的1854年論文中證明了定理中的對多地謎應是一一對應，但是沒能明確的證明它是同態(因此是同構)。但是，Nummela提示大家注意凱萊讓當時的數學界知道了這個結果，因此比Jordan要提前了16年。
定理證明
從姜重初等群論中，知道了對於任何G中元素g必然有g*G=G；並通過消除規則知道了g*x=g*y若且唯若x=y。所戰樂鴉以左乘g充當了雙射函式fg:G→G，通過定義fg(x) =g*x。所以，fg是G的排列，並因此是Sym(G)的成員。
Sym(G)的子集K定義為
- K= {fg:g∈G並且fg(x) =g*x對於所有x∈G}
是同構於G的Sym(G)的子群。得出這個結果的最快方式是考慮函式駝槓訂敬T:G→ Sym(G)對於所有G中的g有著T(g) =fg。(對Sym(G)中的辯斷捉複合使用"·")，T是群同態因為：
- (fg·fh)(x) =fg(fh(x)) =fg(h*x) =g*(h*x) = (g*h)*x=f(g*h)(x)，對於所有G中的x，因此：
- T(g) ·T(h) =fg·fh=f(g*h)=T(g*h)。
同態T也是單射因為：T(g) = idG（Sym(G)的單位元）蘊含了對於所有捆判戀G中的x有g*x=x，選取x為G的單位元e產生g=g*e=e。可替代的，T(g)也是單射因為：g*x=g*x'蘊含x=x'（通過左乘上g的逆元，因為G是群所以一定存在）。
因此G同構於T的像，它是子群K。T有時叫做G的正規表示。
另一個的證明
首先假設
帶有
。則根據G-軌道分類這個群作用是
（也叫做軌道-穩定集定理）。
現在這個表示是忠實的，如果
是單射，就是說，如果的核是平凡的。假設
∈ ker ，則
，通過排列表示笑立歡婆和群作用的等價性。但是因為 ∈ ker , 
並因此ker 是平凡的。則im
並因此利用第一同構定理得出結論。
註記
單位元對應於恆等排列。所有其他的群元素對應於不留下任何元素不變的排列。會因為這也適用於群元素的冪，小於這個元素的階，每個元素對應於由相同長度的環構成的排列：這個長度是這個元素的階。在每個環中的元素形成了這個元素生成的子群的左陪集。
