Blichfeldt's Lemma，數學術語。意思是一張被分成邊長為1的格線紙，若其中有一面積大於n(n為自然數)的封閉區域，則總可以平移(橫向縱向滑動而不旋轉)，使區域包含至少n+1個點。
基本介紹
- 外文名：Blichfeldt's Lemma
- 所屬學科：數學
證明
假設在一方格網中，橫線與縱線相互垂直，且橫縱線間距都為1，一面積大於n的封閉區域A在方格中。我們將封閉區域A完全染色，則染色區域面積也大於n。現在我們沿格線將整個方格區域分成若干個1*1的小正方形，並且A區域任意一部分都在這若干個小正方形中。如果我們對任意一個小方格上下左右平移，那么方格內圖形不變，恢復到原位置時，格線紙的圖形不會改變。將分開的正方形方格塊平移併疊放到一起，以保證除最上和最下兩個方格塊外其他方格上任意一點都有一個點對應。從最下方格的任意一點引一條垂直於方格面向上的射線，依次穿過每一個方格則射線與方格面的交點要么位於染色區域內，要么位於染色區域外，二者必居其一且僅居其一。若任意一條射線與任意一個方格交點在被染色區域內，則證明A區域在該方格內有覆蓋，其面積一定大於0。又因為被分開的區域在面積為1的方格內，所以面積最大為1(此時染色區域將方格全覆蓋)。假設引出的所有射線與方格交點中沒有使“與染色區域交點至少為n+1個”滿足，則焦點最多為n個。由單面積最大為1知，被染色區域面積最大為n。但這與條件面積大於n矛盾，所以假設不成立所以至少存在一條射線使與陰影交點至少為n+1個。
用一根無限細的針沿有(n+1)個交點的射線將方塊穿透記穿透陰影的點分別為P1, P2 ... Pn+1。取任意點Pk設其與上邊緣距離為a，與左邊緣距離為b。由重疊知，各正方形完全重合，則P1, P2 ... Pn+1點與上邊緣距離為a，與左邊緣距離為b。用平移的方式將方格恢復原狀，任取兩個交點Pi, Pj，設橫向間隔N個方格，縱向間隔M個方格。則兩點橫向間距為N*1 + b+(1-b)=N+1，縱向間距為M*1 + a+(1-a)=M+1。所以，任意兩點橫縱向間距都為整數。平移區域，使其中一點與格線點重合，由格線點間距整數知，各點與格線點重合。因這n+1個點在染色區域內，所以區域A包含n+1個點，命題得證。
