《麥克斯韋方程組間斷有限元方法研究》是依託湖南師範大學，由謝資清擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：麥克斯韋方程組間斷有限元方法研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：謝資清
- 依託單位：湖南師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
傳統上描述電磁波傳播規律的數學模型是著名的麥克斯韋方程組。上世紀九十年代，科學家們開始關注電磁波在色散媒質中的傳播，所謂色散媒質是指相關參數與在其中傳播的電磁波頻率有關的媒質，由於水、土壤、人體組織、毛髮、光纖、電漿、隱形飛機的吸波材料等都是色散媒質，所以研究色散媒質中麥克斯韋方程組的數值計算方法具有重要的理論和實際意義。另一方面電磁散射問題也是計算電磁學中一個十分重要而極富挑戰性的問題。本項目擬研究求解各類色散媒質中的麥克斯韋方程組的半離散或時空全離散間斷有限元（DG）方法，證明格式的數值穩定性和誤差估計，以及關於時間方向數值通量的強超收斂性。並將時空DG格式與吸收邊界層方法結合，求解電磁散射問題，研究其穩定性和誤差估計；基於電磁散射問題精確無反射邊界條件卷積核的簡單表達式，用能量法討論相應初邊值問題的適定性和先驗估計，並設計適當的時空DG格式求解該問題，進行相應的數值分析。
結題摘要
電磁計算作為科學計算領域中的一個重要分支，越來越得到電磁科學家和數學家們的重視。傳統上描述電磁波傳播的數學模型為著名的麥克斯韋方程組，而目前電磁計算中的大部分工作集中在簡單媒質中的麥克斯韋方程組的求解，由於色散媒質廣泛存在，如水、土壤、人體組織、毛髮光纖、電漿、隱形飛機的吸波材料等均為色散媒質，近年來色散媒質中麥克斯韋方程組數值方法的研究越來越引起人們的關注。另一方面，Veselagiin於1967年提出了雙負媒質的概念，但這種媒質一直到2000年才被人工製造出來，並成為本世紀最引人注目的科學熱點之一。由於雙負媒質在隱形材料的製造等諸多方面具有廣泛的套用，近十五年來關於雙負媒質中麥克斯韋方程組的理論和數值計算方法研究亦已成為科學工程計算界熱門的研究領域，而且雙負媒質中電磁波傳播的數值模擬，對設計新的雙負媒質和發現其新性質，起著非常重要的作用。此外電磁散射問題，特別是三維電磁散射問題計算也是計算電磁學中一個十分重要而極富挑戰性的研究領域。 色散媒質和雙負媒質中麥克斯韋方程組實際上為積分微分方程組，本項目研究求解這些方程的各種全離散間斷有限元方法，必須克服由於積分項的存在而帶來的全局效應以及分析上的困難，同時力圖降低格式對CFL條件的要求，並在比較緊湊的框架下證明格式的穩定性和收斂性，探求其某些超收斂性。其次，本項目研究將間斷有限元方法與人工無反射邊界條件結合求解三維電磁散射問題。由於人工無反射邊界條件涉及向量場的向量球調和展開係數，因此為一個全局邊界條件。我們提出了一種基於已知函式（向量場）的高次分片多項式插值的半解析方法，實現了向量球調和展開係數的高精度近似，而且與DG方法可實現無縫對接。在實際套用中電磁波有時會在不同媒質中傳播，因此必將涉及麥克斯韋方程組的界面問題的計算。為了將來研究麥克斯韋方程組界面問題的計算，本項目組基於非貼體格線和雜交間斷有限元方法研究Poisson 方程和熱方程的界面問題的計算，通過巧妙地引進一個ansatz函式，將原來的界面問題變成一個新的界面正好與格線線重合的界面問題，再利用HDG方法善於模擬界面問題且自由度少的優勢來求解。該方法生成格線的代價低，且能方便的處理三維複雜界面和移動界面，數值解及導數均具有二階精度，為本項目組在以後的工作中進一步處理麥克斯韋方程組界面問題提供了可借鑑的經驗。
