《非線性Cahn-Hilliard型方程自適應高階穩定數值方法分析》是依託湖南大學，由宋懷玲擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：非線性Cahn-Hilliard型方程自適應高階穩定數值方法分析
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：宋懷玲
- 依託單位：湖南大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
強非線性、小參數、高階偏微分方程的高效數值方法是科學計算領域的一個重大研究問題，涉及面廣，模型眾多。本項目以經典的Cahn-Hilliard模型方程為切入點，發展一類高階無條件穩定、大時間步長、自適應的新型耦合數值方法，從格式構建、理論分析、計算實現三方面出發，主要研究：（1）Cahn-Hilliard方程的有限體積及緊緻差分的IMEX-Runge-Kutta\Strong stability preserving穩定高階方法的構造及理論分析；（2）Cahn-Hilliard方程的時空自適應方法的構造和理論分析。項目所提出的新方法具有時間步長大、穩定性強、計算量低、存儲量小等優點，可以有效處理強非線性及小參數，可以滿足大規模計算實際問題時對模擬精度和置信度的要求，實現高效高精度算法。
結題摘要
高階偏微分方程的數值模擬是科學計算領域的重大研究問題之一。由於實際問題的複雜多變性，導致此類方程具有強非線性、小參數、高階性等諸多難點。本項目以經典的Cahn-Hilliard模型方程為切入點，目的在於建立穩定實用高效的數值方法，並進行嚴格的理論分析。我們的研究內容和重要研究結果如下：（1）針對四階Cahn-Hilliard方程，我們把高階緊緻差分格式與顯隱Runge-Kutta\Strong stability preserving方法耦合，將前者套用到空間離散，後者套用到時間離散，處理Cahn-Hilliard方程的高階性和小參數的影響。為了有效處理方程的強非線性，保證能量的衰減和格式的穩定性，利用能量泛函的凸凹分解技巧，採取合理的凸凹分裂劃分隱式部分和顯式部分，使非線性方程簡化為離散的線性方程組，從而大大的減少實際計算工作量，提高運算的效率。給出了能量遞減的理論證明和方法的穩定性分析；並進行了數值試驗，與已有的方法進行比較分析，得到了理想的數值結果。（2）在大時間步長的顯隱Runge-Kutta方法的基礎之上，考慮自適應的數值方法。首先，藉助穩定的顯隱Runge-Kutta方法套用大的時間步長得到粗略的數值解；然後，套用Proper Orthogonal Decomposition (POD)構造新的基函式，進行降階處理；套用Discrete Empirical Interpolation method (DEIM)處理方程中的非線性項；兩種方法結合可以降低計算量，減少存儲空間，大大提高數值計算的效率，得到更精細高效的數值解。項目所提出的新方法具有時間步長大、穩定性強、計算量低、存儲量小等優點，可以有效處理強非線性及小參數，可以滿足大規模計算實際問題時對模擬精度和置信度的要求，實現高效高精度算法。形成的論文相繼發表在《Computers and Mathematics with Applications》、《Journal of Computational and Applied Mathematics》和《International Journal of Compute Mathematics》。
