《非線性發展方程的切對稱和擬局部對稱》是依託西北大學，由黃晴擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：非線性發展方程的切對稱和擬局部對稱
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：黃晴
- 依託單位：西北大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
非線性偏微分方程的擬局部對稱構造是偏微分方程對稱群分析領域研究的熱點和難點之一。本項目主要研究非線性發展方程的切對稱和擬局部對稱，提出基於切對稱構造擬局部對稱的新方法。首先，研究單個非線性發展方程的切對稱分類，探討能變換為擬局部對稱的切對稱應滿足的條件，並基於切對稱分類構造方程容許的擬局部對稱。其次，非線性發展方程組容許的切對稱退化為李對稱，研究一般形式的非線性發展方程組的李對稱分類，明確方程組的李對稱與擬局部對稱間的關係，並由李對稱分類結果構造方程組的擬局部對稱。最後，研究分類結果中一些重要模型的可積性和精確解，闡明解的性質。.本項目研究的問題在物理、幾何和生物等領域都有重要套用，研究成果將在一定程度上豐富方程的對稱群理論，對解釋某些物理現象提供重要參考，為今後相關領域的研究奠定基礎。
結題摘要
本項目主要研究了非線性偏微分方程的李對稱和切對稱群分類問題，基本按原計畫執行，目前已經完成，主要得到如下成果： 1．完善和補充了偏微分方程對稱群理論，探討了線性發展方程的李對稱群分類方法，並將其套用於四階線性發展方程，得到完整的李對稱群分類結果；研究了KdV型非線性發展方程的Galilei對稱群分類；討論了帶源的非線性擴散方程的條件Lie-Backlund對稱和擾動擴散方程初值問題的近似對稱約化，並對這些分類結果中的一些重要模型用對稱約化方法和不變子空間方法構造了精確解。 2. 建立了非線性發展方程的一種新的代數化的切對稱群分類方法，並將該方法用於最一般形式的二階發展方程，得到了所有不等價的容許半單代數、有非平凡 Levi 因子的代數和直到四維的可解李代數的二階非線性發展方程，同時還考慮了切對稱群的表示問題，儘可能的將切對稱用等價的李對稱表示。 3．研究了分數階偏微分方程的李對稱群分析，探討對稱群方法對分數階方程，尤其是時間分數階方程，如時間分數階Harry-Dym方程，的研究的有效性；給出了向量場張成的Virasoro代數的新的構造方法。 上述成果主要以7篇SCI論文的形式發表。 項目組成員共參加了9次相關學術會議，已招收4名研究生從事可積系統學習和研究工作。
