《非局部方程的高階格式與多重格線算法》是依託蘭州大學，由陳明華擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：非局部方程的高階格式與多重格線算法
- 依託單位：蘭州大學
- 項目負責人：陳明華
- 項目類別：青年科學基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
近年來，非局部方程(分數階微分方程、近場動力學模型或非局部問題)的研究得到快速的發展並被廣泛套用於各學科領域。由於這類方程的非局部性質，獲得解析解比較困難或解析解為無窮級數或超越函式，因此怎樣高效的數值求解成為一個亟須突破的問題。一方面，由於非局部運算元的一階離散運算元和高階離散運算元都是滿矩陣或非稀疏矩陣，其顯著的特徵是：在保持相同計算量的條件下，高階格式能夠極大提高算法的精度。另一方面，由於這類方程的代數系統具有Toeplitz矩陣結構，我們可結合快速Fourier變換算法及多重格線法，進一步降低計算量及存儲空間。本項目旨在：針對不同類型的非局部方程，設計高階精度格式及快速算法，分析數值格式的穩定性、收斂性及誤差估計等。特別是針對多重格線法理論分析的難點問題，我們將改進V-循環多重格線法一致收斂性理論的一般框架，並力圖有效套用於空間方向為局部運算元，時間方向為非局部或者局部運算元型的微分方程中。
結題摘要
近年來，在力學、物理、生物化學、電氣工程、材料科學、醫學等學科的研究中，導出了大量的非局部方程(分數階微分方程，近場動力學模型或非局部問題等)。由於這類方程的非局部性質，其一階離散運算元和高階離散運算元都是滿矩陣或非稀疏矩陣，其顯著的特徵是：在保持相同計算量的條件下，高階格式能夠極大提高算法的精度。另一方面，由於這類方程的代數系統具有Toeplitz矩陣結構，我們可結合快速Fourier變換算法及多重格線法，進一步降低計算量及存儲空間。本項目主要研究兩個方面的內容：高精度算法和快速多重格線法。我們取得的重要結果和關鍵數據如下：(1) 針對多重格線法的理論分析結果有：利用簡單的延拓運算元，從代數多重格線法的角度建立經典的V-循環的多重格線法理論估計，並給出二維的時間依賴橢圓型方程的理論估計；對於非局部方程模型，建立二重格線法的理論分析，並對特殊的情形，給出full-多重格線法的理論估計；從幾何多重格線法的角度，定義了分數階 範數，進而證明了當時間步長 時，V-循環多重格線有限元法的一致收斂性估計。(2) 針對分數階模型或非局部模型的高階格式/算法設計有：構造時間Tempered分數階Feynman-Kac方程的高階算法，並在複數域空間中給出穩定性和收斂性分析；利用能量估計方法分析二維空間-Riesz 分數階波動方程的穩定性和收斂性；研究空間-時間tempered 分數階擴散-波動方程的二階精度算法。這些高效、快速的算法為套用動力學系統的理論和數值模擬提供了有效的工具。
