非對稱線性差分系統譜理論研究

《非對稱線性差分系統譜理論研究》是依託山東大學，由孫華清擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：非對稱線性差分系統譜理論研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：孫華清
• 依託單位：山東大學

中文摘要

差分系統不僅來自於離散數學模型，還來自於連續系統的離散化。差分系統和它所對應的連續系統有許多相似之處，但在理論成果和研究方法上也有很多不同。因此，對差分系統的研究十分重要。非對稱問題大量出現在流體動力學、磁流體力學以及工程技術中。量子力學中的能量耗散、反散射、逆譜等問題中也存在大量非對稱問題。因此，本項目研究非對稱線性差分系統，給出它的極限類型分類，建立極限類型的判定定理。特別地，建立系統譜的相對緊擾動理論，並用之建立離散譜、本質譜以及實譜性的判別準則。非對稱線性差分系統譜問題的研究起步晚、難度較大、結果少。本項目的研究成果和方法將使人們對非對稱差分甚至微分系統譜理論有較為全面的認識，為進一步研究非對稱差分和微分系統譜問題提供新思路，為流體力學、磁流體力學、工程技術以及量子力學等領域的研究提供新工具。

結題摘要

微分運算元譜理論是經典數學、經典力學、量子物理及許多科技領域主要研究手段之一，它為很多實際問題提供了統一解決模式和理論框架。差分系統不僅來自於離散數學模型，還來自於連續系統的離散化。差分系統和它所對應的連續系統有許多相似之處，但在理論成果和研究方法上也有很多不同。因此，對差分系統的研究十分重要。非對稱問題大量出現在流體動力學、磁流體力學以及工程技術中。量子力學中的能量耗散、反散射、逆譜等問題中也存在大量非對稱問題。因此對非對稱微分和差分系統譜理論研究十分重要。本項目研究了非對稱線性微分系統和差分系統譜理論，進行了離散哈密頓系統所生成子空間稠定性研究，建立了J-厄米子空間的Glazman-Krein-Naimark (GKN)理論；在GKN理論建立的基礎上，進行了二階非自伴差分方程以及它的更一般形式非自伴哈密頓差分系統的J-自伴域的完全描述，為進一步研究譜打下基礎；進行了J-自伴哈密頓微分系統最小運算元J-自伴擴張域的刻畫；進行了相應運算元虧指數的研究；給出自伴和非自伴哈密頓微分系統Hartman-Wintner定理；給出奇異自伴哈密頓系統本質譜離散譜充分條件；進行了非自伴Sturm-Liouville邊值問題非實譜的研究；建立了地球流體力學中位渦動力系統的不穩性結果，該方面研究成果體現譜理論的套用價值。相比對稱情況，非對稱線性微分和差分系統譜問題的研究起步晚、難度較大、結果少。本項目的研究成果和方法將使人們對非對稱微分和差分系統譜理論有較為全面的認識，為進一步研究非對稱微分和差分系統譜問題提供新思路，為流體力學、磁流體力學、工程技術以及量子力學等領域的研究提供新工具。