《隨機過程（第二版）》是2024年上海財經大學出版社出版的圖書。
基本介紹
- 中文名：隨機過程（第二版）
- 作者：何萍
- 出版時間：2024年8月
- 出版社：上海財經大學出版社
- ISBN：9787564244279
- 開本：16 開
- 裝幀：平裝-膠訂
內容簡介,作者簡介,圖書目錄,
內容簡介
近二十年來, 隨機過程由於其在數理金融等領域的套用而倍受關注, Merton 和 Scholes 在期權定價方面的工作獲得諾貝爾獎之後更是如此。 因此作者覺得有必要對學生介紹隨機過程的一些基本知識。 本書是為數學系本科高年級學生開設的隨機過程選修課而寫的,目的在於讓他們對隨機過程的經典問題和方法有一個初步的了解。 本書主要介紹Poisson過程、更新過程、隨機遊動、鞅以及Markov 鏈的基本理論。作為最簡單的隨機過程, 它們的研究有悠久的歷史和直觀自然的背景。實際上, 許多連續時間的隨機過程的結論都可以在這些隨機序列的經典結果中發現它們的影子。 第一章講述機率論基礎, 包括隨機變數的收斂性以及條件期望、矩母函式、母函式等工具。 第二章介紹Poisson點過程, 主要介紹如何處理等待時間與佇列問題, 並簡單討論了複合Poisson過程的實際背景。 第三章主要介紹的是一個基本更新定理, 也為後面的Markov鏈性質做些鋪墊。同時提出隨機遊動, 也就是獨立同分布隨機變數的和, 將介紹一些經典的方法和問題。 第四章講述隨機過程的基本理論和存在性定理,使本書建立在一個堅實的基石之上。從邏輯角度考慮, 它是後面討論 Markov 鏈所必需的,實際上給定轉移函式的 Markov 鏈的存在性在直觀上是自然的, 因此即使讀者不能很好地理解這一章, 也不會影響對其它內容的理解。 第五章討論離散時間 Markov 鏈的基本理論和經典方法, 它的研究一直是機率論中最為活躍的領域。還簡要介紹早已有所論述但最近才被人關注的 Markov 鏈與電路網路的本質聯繫。 第六章將介紹鞅理論。從 某種意義上說, 鞅是隨機遊動的一個自然推廣。比起隨機遊動, 鞅是較為現代的理論, 它的主要發展是在20世紀下半葉。 鞅在許多領域都有重要套用, 這裡我們簡單介紹鞅在金融理論中的套用, 也就是簡二項期權定價。雖然簡單, 但足以表達 Black-Schloes 及 Merton 理論的基本思想。 本書涉及的大部分內容可以說是簡單直觀, 解決其中的問題也不需要太多的數學工具,對稍有基礎的讀者來說不難理解。
作者簡介
何萍，上海財經大學數學學院教授、博士生導師。2001年3月獲日本國立金澤大學理學博士學位，之後在復旦大學數學所博士後流動站從事博士後研究工作，2003年7月入職上海財經大學數學學院。曾訪問美國華盛頓大學數學系，也多次訪問日本參加學術會議、進行短期的學術交流。在《中國科學》《數學年刊》，美國的《機率年刊》《美國數學學會會報》，日本的《大阪數學志》等刊物發表多篇SCI檢索論文。分別於2007年與2012年獲得國家自然科學基金項目資助，均已結項。目前授課重點在本科《隨機過程引論》和研究生《機率論與隨機過程》,均獲上海財經大學校級重點課程項目資助。
圖書目錄
第一章 機率論述要………………………………………………………………………… 1 §1.1 隨機變數 ………………………………………………………………………… 1 §1.1.1 機率空間……………………………………………………………… 1 §1.1.2 分布…………………………………………………………………… 4 §1.1.3 期望與方差…………………………………………………………… 5 §1.1.4 例……………………………………………………………………… 6 §1.2 隨機向量………………………………………………………………………… 17 §1.2.1 聯合分布 …………………………………………………………… 17 §1.2.2 協方差與協方差矩陣 ……………………………………………… 18 §1.2.3 例 …………………………………………………………………… 18 §1.3 極限定理………………………………………………………………………… 28 §1.3.1 可積性與不等式 …………………………………………………… 28 §1.3.2 Bernoulli大數定律 ………………………………………………… 29 §1.3.3 Borel大數定律……………………………………………………… 30 §1.3.4 中心極限定理 ……………………………………………………… 37 §1.4 矩母函式及母函式……………………………………………………………… 38 習題一 …………………………………………………………………………………… 41 第二章 隨機過程預備知識 ……………………………………………………………… 44 §2.1 條件期望………………………………………………………………………… 44 §2.1.1 事件域與可測性 …………………………………………………… 44 §2.1.2 條件機率與條件期望 ……………………………………………… 46 §2.1.3 理解條件期望 ……………………………………………………… 53 §2.2 隨機過程的定義及例…………………………………………………………… 57 §2.2.1 定義 ………………………………………………………………… 57 §2.2.2 樣本軌道 …………………………………………………………… 59 §2.2.3 常見的隨機過程 …………………………………………………… 61 習題二 …………………………………………………………………………………… 64 第三章 離散時間馬氏鏈 ………………………………………………………………… 67 §3.1 隨機遊動………………………………………………………………………… 67 §3.1.1 格點軌道與反射原理 ……………………………………………… 68 §3.1.2 對稱簡單隨機遊動 ………………………………………………… 70 §3.2 馬氏鏈的基本定義……………………………………………………………… 75 §3.3 Chapman-Kolmogorov方程與狀態的分類 …………………………………… 82 §3.3.1 Chapman-Kolmogorov方程 ……………………………………… 82 §3.3.2 狀態之間的關係 …………………………………………………… 83 §3.3.3 狀態的分類 ………………………………………………………… 84 §3.4 P n 的極限性質與平穩分布 …………………………………………………… 96 §3.4.1 基本極限定理 ……………………………………………………… 96 §3.4.2 平穩分布 …………………………………………………………… 97 §3.5 Galton-Watson分支過程 …………………………………………………… 104 習題三…………………………………………………………………………………… 108 第四章 Poisson過程 …………………………………………………………………… 114 §4.1 預備知識 ……………………………………………………………………… 114 §4.2 Poisson過程的定義…………………………………………………………… 116 §4.3 來到間隔與等待時間的分布 ………………………………………………… 118 §4.4 來到時間的條件分布 ………………………………………………………… 121 §4.5 非齊次Poisson過程* ………………………………………………………… 126 §4.6 複合Poisson過程 …………………………………………………………… 130 習題四…………………………………………………………………………………… 135 第五章 更新過程………………………………………………………………………… 140 §5.1 基本定義 ……………………………………………………………………… 140 §5.2 N(t)的分布與更新函式 ……………………………………………………… 141 §5.2.1 N(t)的分布 ……………………………………………………… 141 §5.2.2 更新函式…………………………………………………………… 142 §5.3 極限定理與停時 ……………………………………………………………… 143 §5.3.1 停時………………………………………………………………… 144 §5.3.2 基本更新定理……………………………………………………… 146 §5.4 關鍵更新定理及其套用* …………………………………………………… 148 §5.4.1 更新定理…………………………………………………………… 148 §5.4.2 關鍵更新定理的套用……………………………………………… 150 習題五…………………………………………………………………………………… 152 第六章 鞅………………………………………………………………………………… 155 §6.1 公平遊戲與鞅 ………………………………………………………………… 155 §6.2 鞅基本定理 …………………………………………………………………… 158 §6.2.1 停時………………………………………………………………… 160 §6.2.2 Wald等式 ………………………………………………………… 161 §6.2.3 首次通過時………………………………………………………… 162 §6.3 在金融中的套用 ……………………………………………………………… 168 §6.3.1 模型無關的定價定理……………………………………………… 168 §6.3.2 二叉樹模型………………………………………………………… 173 §6.3.3 美式買入期權……………………………………………………… 175 習題六…………………………………………………………………………………… 176 第七章 Brown運動 ……………………………………………………………………… 178 §7.1 Brown運動的定義 …………………………………………………………… 180 §7.2 Brown運動的性質 …………………………………………………………… 180 §7.3 Brown運動的其他性質 ……………………………………………………… 187 §7.3.1 首中時與最大值變數……………………………………………… 187 §7.3.2 反正弦律…………………………………………………………… 189 §7.4 例 ……………………………………………………………………………… 190 §7.5 粗糙軌道 ……………………………………………………………………… 193 §7.6 Brown運動與鞅 ……………………………………………………………… 197 習題七…………………………………………………………………………………… 201 參考文獻…………………………………………………………………………………… 203
