《隨機矩陣理論中Beta系綜的特徵多項式》是依託中國科學技術大學，由劉黨政擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：隨機矩陣理論中Beta系綜的特徵多項式
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：劉黨政
- 依託單位：中國科學技術大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
特徵多項式是隨機矩陣理論中的重要研究對象。本項目將利用Jack多項式這一有力工具來研究典型beta系綜中特徵多項式的漸近性質，擬做以下兩個方面的問題： （1）N階帶外場的高斯和chiral高斯beta系綜的特徵多項式乘積。由於外場的存在，N趨於無窮時的局部極限預計會出現相變現象。為此需要進一步發展申請人同合作者引入的Selberg型多元積分的鞍點分析方法。 （2）4個典型矩陣系綜：Hermite、Laguerre、Jacobi、circular beta系綜特徵多項式的乘積比。它與Dotsenko-Fateev型積分密切相關，而分析其漸近性質的關鍵是探尋相應的積分對偶表達公式和發展此類積分的鞍點分析。 本項目通過對典型系綜的研究來尋找特徵多項式的極限普適型和加深對隨機矩陣理論中普適性問題的理解，並希望有助於一般位勢下beta系綜相關問題的研究。
結題摘要
隨機矩陣是當前機率論的熱點研究方向之一，其和數學的其他分支如數論、組合、表示論以及統計物理、資訊理論等方向有密切關聯。本項目研究內容涉及隨機矩陣中典型beta系綜的特徵多項式乘積與乘積比的漸近性質。 本項目已標註SCI論文8篇，部分發表在Commun.Math. Phys.,Constr.Approx.,Int.Math.Res.Notices,AIHP Probabilites et Statistiques等國際知名數學雜誌上。對Gauss,Laguerre和Jacobi這三種典型β-系綜的特徵多項式自關聯，首次對任意正數β證明和完全刻畫了在譜內部和邊緣處的普適性質，而之前已知的結果都依賴於β=1,2,4的特殊情形；該結果被2014年國際數學家大會45分鐘報告人Virag在其報告中引用，他評價此工作“為譜內部和譜邊緣運算元過程提供了另一種刻畫”，並進一步問“這種刻畫和極限譜運算元直接相關嗎”。對帶外場的高斯β-系綜， 發現並證明了一種從次臨界、臨界到超臨界狀態的相變現象，此類現象在隨機矩陣研究中極受關注，而我們的結論即使對β=1,4情形也是新的。另外，對隨機矩陣乘積奇異值我們發現並證明了硬邊緣處的一種相變現象，並在臨界點處發現一族新現象，此工作被審稿人評價為“這些非常漂亮的結果在當前隨機矩陣乘積研究中是相當有趣的”“新的臨界核展現了隨機矩陣理論中一個非常有趣的新現象”。
