《關於算術級數中連續項乘積的丟番圖方程》是依託長沙理工大學，由張勇擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：關於算術級數中連續項乘積的丟番圖方程
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：張勇
- 依託單位：長沙理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬採用 Pell 方程的理論、構造法及橢圓曲線的理論來探索算術級數中連續項乘積滿足的丟番圖方程. 內容包括：研究算術級數中多個不相交的連續項乘積表為平方數，討論相應丟番圖方程的整數解或有理數解的無窮性；考慮多項式在算術級數中多個不相交的連續項上取值的乘積表為平方數，找出合適的多項式使得對應的丟番圖方程有無窮多的整數解或有理數解. 特色是選題上緊跟問題的最新進展，考慮了原問題的一般情況；創新點是將橢圓曲線的深刻理論運用到此類丟番圖方程的有理數解. 本項目旨在提出更一般的問題，拓寬原有丟番圖方程的研究思路.
結題摘要
丟番圖方程是數論的一個重要組成部分，橢圓曲線是代數幾何的基本研究對象，橢圓曲線的理論在丟番圖方程中的套用已成為數論的一個研究熱點。 丟番圖方程的問題和猜想很多，其中許多著名的數學家研究過與連續整數乘積有關的丟番圖方程，如 Goldbach, Euler, Erdos 等。 近年來，關於算術級數中連續項乘積的丟番圖方程也有許多的結論，而對算術級數中多個不相交的連續項乘積的丟番圖方程的探討還相對較少。 本項目首先研究了公差為 $d$ 的算術級數中 $n (n＞1)$ 個不相交的兩(三、四)個連續項乘積為平方數，得到了相應的丟番圖方程有無窮多的正整數解。 然後，我們考慮了公差為 $d$ 的算術級數中 $2$ 個不相交的三(四)個連續項乘積為有理數的平方，證明了它們的有理數解構成的集合 $S(Q)$ 在集合 $S(R)$ 中是稠密性的。最後，我們研究了多項式 $f(x)$ 在公差為 $d$ 的算術級數中 $n (n＞1)$ 個不相交的兩個連續項上取值的乘積為平方數，得到了當 $n=3(或 n＞=5), k=2, d＞=2$ 為偶數, $f(x)=x(x+2d)$ 時，或當 $n=3(或 n＞=5), k=2, d=3, f(x)=x(x+6)$ 時，對應丟番圖方程有無窮多的正整數解；當 $n=2, k=2, d＞=1, f(x)=x(x+b)，b＞=1$ 時，對應丟番圖方程有無窮多的有理數解。本項目所得的結論是以前研究的進一步探索，為後續研究奠定了基礎。
