重差

重差：漢 代天文學家測量太陽高、遠的方法。 魏 晉 時 劉徽 著文講述這一方法，也以“重差”作篇名，附於所注《九章算術》後。 唐代劉徽著述的《重差》改名為《海島算經》

基本介紹

• 中文名：重差
• 拼音：zhòng chà
• 注音：ㄓㄨㄙˋ ㄔㄚˋ
• 釋義：《周禮·地官·保氏》
• 出處：《重差》又名《海島算經》
• 作者：劉徽

簡介

注釋

【拼音】zhòng chà

【注音】ㄓㄨㄙˋ ㄔㄚˋ

【條目】重差

【引證解釋】

漢 代天文學家測量太陽高、遠的方法。 魏 晉 時 劉徽 著文講述這一方法，也以“重差”作篇名，附於所注《九章算術》後。 唐代劉徽著述的《重差》改名為《海島算經》。《周禮·地官·保氏》“六曰九數” 鄭玄 注引 漢 鄭司農 曰：“今有重差，夕桀、句股也。” 孫詒讓 正義：“ 孔廣森 云：‘重差者，重兩句股，取其影差，異乘同除，此知比例，若 劉徽 《海島經》是也。’…… 張文虎 云：‘重差者，重疊測望而知其差也。’” 章炳麟 《國故論衡·原名》：“日中視日，財比三寸盂，旦莫乃如徑尺銅槃，校以句股重差，近得其真也。”

來源

重差理論起源於《周髀算經》的《日高圖》“以表高乘兩表相去為黃甲之實。以影差為黃乙之廣而一，所得則變為黃乙之袤，上與日齊。”

劉徽在《九章算術·序》中，進一步發展了重差術：“凡望極高、測絕深，而兼知其遠者必用重差、句股，則必以重差為率，故曰重差也。立兩表於洛陽之城，令高八尺。南北各盡平地，同日度其正中之時，以景差為法，表高乘表間為實，實如法而一。所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表間為實，實如法而一，即為從南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地為句、股，為之求弦，即日去人也。”

• 日去地=（H*D）/d+H；
  
• 南戴日下= 南表景 *D/d；（戴：正下方即太陽正下方到偏南邊表的距離；景：通“影”）
  
• 其中H為表高，D為表間，d為景差。
  

內容

《海島算經》共九問。都是用表尺重複從不同位置測望，取測量所得的差數，進行計算從而求得山高或谷深，這就是劉徽的重差理論。《海島算經》中，從題目文字可知所有計算都是用籌算進行的。“為實”指作為一個分數的分子，“為法”指作為分數的分母。所用的長度單位有里、丈、步、尺、寸；1里=180丈=1800尺；1丈=10尺：1步=6尺，1尺=10寸。

望海島

今有望海島，立兩表，齊高三丈，前後相去千步，令後表與前表三相直。從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末三合。從後表卻行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末三合。問島高及去表各幾何？ 答曰：島高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。 術曰：以表高乘表間為實；相多為法，除之。所得加表高，即得島高。求前表去島遠近者：以前表卻行乘表間為實；相多為法。除之，得島去表里數。

《古今圖書集成》窺望海島之圖

望海島二次測量示意圖

由於前表去島的距離不能直接測量，劉徽用同樣高度的表桿前後測量，表桿與地面垂直，人眼貼地，望表桿頂和島上山頂對齊，這時測得人眼和前表桿的水平距離叫“前表卻行”DG=123步；再將表桿往後移動，兩彪桿間距稱為“表間”=1000步，依法測出“後表卻行”FH=127步。

表高 =CD, 前表卻行=DG 後表卻行=FH 相多=FH-DG 表間=DF 島高=AB 前表去島遠近=BD

依法得島高AB=CDxDF/(FH-DG)+CD

前表去島遠近BD=DGxDF/(FH-DG)

望松生石上

今有望松生山上，不知高下。立兩表齊，高二丈，前後相去五十步，令後表與前表三相直。從前表卻行七步四尺，薄地遙望松末，與表端三合。又望松本，入表二尺八寸。復從後表卻行八步五尺，薄地遙望松末，亦與表端三合。問松高及山去表各幾何？ 答曰：松高一十二丈二尺八寸；山去表一里二十八步、七分步之四。術曰：以入表乘表間為實。相多為法，除之。加入表，即得松高。求表去山遠近者：置表間，以前表卻行乘之為實。相多為法，除之，得山去表。

望松生石上三次測量示意圖

CD EF 表示前後兩支表桿，前表桿有刻度，用作兩次測量，第一次從G點瞄準A、C兩點成直線，第二次從G點校準樹根J，讀出前表桿上度數（入表）。

• 表高 =CD=2丈
  
• 前表卻行=DG=7步4尺
  
• 後表卻行=FH=8步5尺
  
• 相多=FH-DG
  
• 表間=DF=50步
  
• 松高=AJ
  
• 前表去山遠近=BD
  
• 入表=CK=二尺八寸
  

松高=AJ=CK*DF/(FH-DG+CK)；

前表去山遠近=BD=DF*DG/(FH-DG)；

南望方邑

今有南望方邑，不知大小。立兩表東、西去六丈，齊人目，以索連之。令東表與邑東南隅及東北隅三相直。當東表之北卻行五步，遙望邑西北隅，入索東端二丈二尺六寸半。又卻北行去表一十三步二尺，遙望邑西北隅，適與西表相三合。問邑方及邑去表各幾何？ 答曰：邑方三里四十三步、四分步之三；邑去表四里四十五步。 術曰：以入索乘後去表，以兩表相去除之，所得為景差；以前去表減之，不盡以為法。置後去表，以前去表減之，余以乘入索為實。實如法而一，得邑方。求去表遠近者：置後去表，以景差減之，余以乘前去表為實。實如法而一，得邑去表。

南望方邑示意圖

由於待測的方城寬度AB，在東西方向，與地面平行，因此兩支在C點D點插入地面與地面垂直的表桿，在此不用作直接測量，測量是依靠一根拴在C、D兩根垂直表桿中間的一條水平測量繩索CD完成的。此題中一根水平測量繩作兩次測量用。

景差 =入表* 後去表/ 表相去。

望深谷

今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺。從勾端望谷底，入下股九尺一寸。又設重矩於上，其矩間相去三丈。更從勾端望谷底，入上股八尺五寸。問谷深幾何？答曰：四十一丈九尺。術曰：置矩間，以上股乘之，為實。上、下股相減，余為法，除之。所得以勾高減之，即得谷深。

山谷深=（距間 × 上股）/（下股-上股）-句高。

登山望樓

今有登山望樓，樓在平地。偃矩山上，令句高六尺。從句端斜望樓足，入下股一丈二尺。又設重矩於上，令其間相去三丈。更從句端斜望樓足，入上股一丈一尺四寸。又立小表於入股之會，復從句端斜望樓岑端，入小表八寸。問樓高几何？ 答曰：八丈。 術曰：上下股相減，余為法；置矩閒，以下股乘之，如句高而一。所得，以入小表乘之，為實。實如法而一，即是樓高。

樓高=（距間 * 下股）* （入小表）/句高/（下股-上股）。

南望波口

今有東南望波口，立兩表南、北相去九丈，以索薄地連之。當北表之西卻行去表六丈，薄地遙望波口南岸，入索北端四丈二寸。以望北岸，入前所望表里一丈二尺。又卻後行1去表一十三丈五尺。薄地遙望波口南岸，與南表三合。問波口廣幾何？答曰：一里二百步。 術曰：以後去表乘入索，如表相去而一。所得，以前去表減之，余以為法；復以前去表減後去表，余以乘入所望表里為實，實如法而一，得波口廣。

南望波口示意圖

此題中一根水平測量繩，作三次測量用。

望清淵

今有望清淵，淵下有白石。偃矩岸上，令句高三尺。斜望水岸，入下股四尺五寸。望白石，入下股二尺四寸。又設重矩於上，其間相去四尺。更從句端斜望水岸，入上股四尺。以望白石，入上股二尺二寸。問水深幾何？ 答曰：一丈二尺。 術曰：置望水上下股相減，余以乘望石上股為上率。又以望石上下股相減，余以乘望水上股為下率。兩率相減，余以乘矩間為實；以二差相乘為法。實如法而一，得水深。又術：列望水上下股及望石上下股，相減，余為法。以望石下股減望水下股，余以乘矩間為實，實如法而一，得水深。

望清淵示意圖

A標誌水岸，S標誌白石，C標誌岸邊；句是古代測量用具之一，有兩個邊成直角（如今三角板）：使用時句的一邊務必與地面垂直。此題用兩個句，一個在C，一個在D，各測量水岸和水底白石。此題用四次測望術。

登山望津

今有登山望津，津在山南。偃矩山上，令句高一丈二尺。從句端斜望津南岸，入下股二丈三尺一寸。又望津北岸，入前望股里一丈八寸。更登高岩北，卻行二十二步，上登五十一步，偃矩山上。更從句端斜望津南岸，入上股二丈二尺。問津廣幾何？ 答曰：二里一百二步。 術曰：以句高乘下股，如上股而一。所得以句高減之，余為法；置北行，以句高乘之，如上股而一。所得以減上登，余以乘入股里為實。實 如法而一，即得津廣。

登山臨邑

今有登山臨邑，邑在山南。偃矩山上，令勾高三尺五寸。令勾端與邑東南隅及東北隅三相直。從勾端遙望東北隅，入下股一丈二尺。又施橫勾於入股之會，從立勾端望西北隅，入橫勾五尺。望東南隅，入下股一丈八尺。又設重矩於上，令矩間相去四丈。更從立勾端望東南隅，入上股一丈七尺五寸。問邑廣長各幾何？ 答曰：南北長一里一百步；東西廣一里三十三步、少半步。術曰：以勾高乘東南隅入下股，如上股而一，所得減勾高，余為法；以東北隅下股減東南隅下股，余以乘矩間為實。實如法而一，得邑南北長也。求邑廣：以入橫勾乘矩間為實。實如法而一，即得邑東西廣。

此題用四次測望術