達布變換，非局域對稱及其局域化

《達布變換，非局域對稱及其局域化》是依託寧波大學，由樓森岳擔任負責人的國家自然科學基金資助面上項目。

基本介紹

• 中文名：達布變換，非局域對稱及其局域化
• 依託單位：寧波大學
• 項目負責人：樓森岳
• 項目類別：面上項目

項目簡介

對稱性研究是自然科學研究中最有效的重要方法之一。傳統的對稱性研究方法是先研究對稱的無窮小形式李代數，然後再研究相應的有限變換對稱群。然而對複雜的非線性問題，這樣的傳統方法有可能顯得困難重重，而是首先應該研究有限對稱變換群，再反過來研究對稱代數及其可能的套用。可積系統中的達布變換是學術界眾所周知的最重要研究方法之一。它實際上是對應非線性系統的有限變換群。然而與這個對稱群對應的對稱代數問題百餘年來幾乎無人問津。本項目將在揭示達布變換對應的對稱代數是非局域對稱代數的同時，提出非局域對稱的局域化方法，從而揭示非線性物理中一些深層次的內在聯繫和可能的實際物理套用。如：達布變換和雙達布變換在對稱代數層次的聯繫；Levi變換和達布變換及其和非線性化方法的聯繫；達布變換對應的對稱性約化；達布變換，遞推運算元和Lax對的聯繫；橢圓周期波和孤立波的相互作用解及其可能的海嘯波與背景波的相互作用描述等等。

結題摘要

對稱性研究是自然科學研究中最有效的重要方法之一。傳統的對稱性研究方法是先 研究對稱的無窮小形式李代數，然後再研究相應的有限變換對稱群。然而對複雜的非線 性問題，這樣的傳統方法有可能顯得困難重重，而是首先應該研究有限對稱變換群，再 反過來研究對稱代數及其可能的套用。可積系統中的達布變換(DT)是學術界眾所周知的最重 要研究方法之一。它實際上是對應非線性系統的有限變換群。然而與這個對稱群對應的 對稱代數問題百餘年來幾乎無人問津。本項目成功揭示了DT對應的對稱代數是非局 域對稱代數的同時，提出了非局域對稱的局域化方法，從而揭示了非線性物理中一些深層次 的內在聯繫和可能的實際物理套用。如：DT和雙DT在代數層次顯示一致性，實際上兩類DT具有相同的無窮小生成元，只是採用的群參數有所不同 ；Levi變換、DT、貝克隆變換、留數對稱、逆遞推運算元、非線性化方法所用的對稱約束等等完全對應於等價的非局域對稱；利用非局域對稱我們可以得到大量的新的傳統方法無法得到的各種不同類型非線性波的相互作用解，如橢圓周期波與孤立波的相互作用，Painleve波和孤立波的相互作用，Airy波、Bessel波、任意Boussinesq波 等等與孤立波的相互作用。對於橢圓周期波和孤立波的相互作用解的研究我們發現了一些具有普適意義的新規律，如橢圓周期波和孤立波可以統一用李政道模型(Phi3+Phi4模型)的解來描述，周期波與孤立波相互作用後均有半波損失。由此啟發，我們進一步建立了簡單易懂易操作但意義深刻的CRE/CTE可積性理論和方法。對於超對稱可積模型，我們成功建立了經典系統的玻色化方法，並同時把非局域對稱的局域化方法成功套用於玻色化以後的超對稱系統。