《超奇異阿貝爾曲面和四元二次型》是依託武漢大學，由薛江維擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：超奇異阿貝爾曲面和四元二次型
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：薛江維
- 依託單位：武漢大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目將圍繞有限域上的某類超奇異阿貝爾曲面開展研究。 已有結果表明此類阿貝爾曲面的一些結構的類數公式與某種四元二次型的類數公式完全吻合， 同時後者又與一些希爾伯特模曲面的虧格相關。 目前這種相關性只是數據比較， 缺乏理論依據。 本項目計畫以阿貝爾曲面為橋樑，從理論上解釋以上三者的相關機制，並研究這類的阿貝爾曲面的一些結構如自同態環，自同構群，principal polarization等的分類和計算。
結題摘要
超奇異阿貝爾簇是正特徵域上所特有的一類阿貝爾簇， 它們的研究與模型式和志村簇等理論都有密切的聯繫。 本項目圍繞有限域上的阿貝爾簇的計數問題開展。 在此之前， 本項目負責人證明了任給有限域F_q上的d維超特殊阿貝爾簇的同構類個數隻取決於F_q的特徵p以及擴域次數[F_q : F_p]的奇偶性。 在本項目的支持下， 我們在一系列文章中逐步給出了超特殊阿貝爾曲面及其相關結構的同構類的確切公式, 並在此基礎上解決了幾個相關的四元數體的算術問題。 在擴域次數[F_q : F_p]為奇數的情況， 我們利用Honda-Tate理論， 先將F_q上的阿貝爾曲面按同源類進行分類。 除對應於Weil數√q的同源類外， 其餘的同源類的計數問題均可劃歸為一些CM域中orders上的格的同構類的計數。 由於對應於Weil數√q的同源類的自同態代數為實二次域Q(√p)上的全正定的四元數體，該同源類與經典的超奇異橢圓曲線具有很大的相似性。我們對這類四元數體的算術理論如類數公式(class number formula)， 型數公式(type number formula)等進行了深入的研究，給出了該同源類中超奇異阿貝爾曲面自身，以及它們的自同態環的同構類個數公式，並在Ponomarev的結果的基礎上建立了這類阿貝爾曲面與四元二次型的關係。上述所有結果均可以看作Deuring和Eichler的結果的推廣。 通過以上研究， 我們首次給出了Vigneras在1975年提出的一個論斷的嚴格證明：即這類四元數體的類數與它中心的全實域的類數的商是一個整數。通過對極大order的單位群的研究， 我們給出了此同源類中的自同態環為極大order的超特殊阿貝爾曲面的自同構群的分類，並給出了對應每一類自同構群的超特殊阿貝爾曲面的個數公式。作為該結果的一個套用，當p模24不為1時， 存在一個特徵為p的域上的超特殊阿貝爾曲面， 使得它的自同態代數為Q(√p)。 當[F_q : F_p]為偶數時，我們利用Galois上同調， 將超特殊阿貝爾曲面的計數問題轉化為了某個算術群中的有限階元的共軛類的個數的計數問題。這些共軛類的分類和計算又再次轉化為某些特殊的非交換環上的格的同構類的計數問題。
