貝特朗判別法

貝特朗判別法是判斷正項級數收斂與發散的一種方法。這是由貝特朗 (Bertrand,J.L.F.) 於 1842 年建立的。

基本介紹

• 中文名：貝特朗判別法
• 外文名：Bertrand test
• 適用範圍：數理科學

簡介

貝特朗判別法是判斷正項級數收斂與發散的一種方法。

設。若，則級數 收斂；若，則 發散。

這是由貝特朗 (Bertrand,J.L.F.) 於 1842 年建立的。

正項級數收斂性判別

部分和數列判別法

正項級數的部分和數列是單調增加的數列即：，收斂的充要條件是有界，因此有：

正項級數收斂的充要條件是：它的部分和數列有界，即存在某正數，對於一切正整數有。

比較原則

設和是兩個正項級數，如果存在某正數，使得對一切都有，則有：

（1）若級數收斂，則級數也收斂；

（2）若級數發散，則級數也發散。

比式判別法（達朗貝爾判別法）

設為正項級數，且存在某正常數及常數。

（1）若對一切，成立不等式，則級數收斂；

（2）若對一切，成立不等式，則級數發散。

比式判別法的極限形式：

設為正項級數，且，則有：

（1）當時，級數收斂；

（2）當或時，級數發散。

注意：若，這時用比式判別法不能對級數的斂散性做出判別，因為它可能是收斂的，也可能是發散的，例如級數和，他們的比式極限都是，但是收斂的，卻是發散的。

根式判別法（柯西判別法）

設為正項級數，且存在某正常數及正常數。

（1）若對一切，成立不等式，則級數收斂；

（2）若對一切，成立不等式，則級數發散；

柯西判別法的極限形式：

設為正項級數，且，則：

（1）當時，級數收斂；

（2）當，級數發散。

注意：若，這時用根式判別法不能對級數的斂散性做出判別，因為它可能是收斂的，也可能是發散的，例如級數和，他們的比式極限都是，但是收斂的，卻是發散的。

積分判別法

積分判別法是利用非負函式的單調性和積分性質，並以反常積分為比較對象來判斷正項級數的斂散性。

設為上非負減函式，那么正項級數與反常積分同時收斂或同時發散。