變更問題法作圖

變更問題法作圖(construction by changing problem)是解作圖題的一種常用方法，一些幾何作圖題，當對原題直接作圖較繁或較困難時，可將原題變更(轉化)為另一種類型的已知問題或易解問題，這樣可以化繁為簡，化難為易。

基本介紹

• 中文名：變更問題法作圖
• 外文名：construction by changing problem
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：平面幾何（尺規作圖）
• 簡稱：變更問題法
• 特點：化繁為簡，化難為易

基本介紹

幾何作圖題在分析、作圖的過程中，為了達到化繁為簡，變難為易的目的，常採用將求解的問題變換成另一種易解的問題，這類方法稱為變更問題法。

變更問題法是將所要求的複雜問題，轉換成另一個較易解決的新問題來解決。不言而喻，新問題必須與原問題相關聯，解決了新問題，原問題就自然得到解決。

圖1

例如求兩平面的夾角（圖1），這時可以不直接求角，而是可以自兩平面外的任一點K向兩平面引垂線KM、KN，再求出KM、KN間的夾角，則其補角即為要求的二面角。這樣就把求兩平面夾角的空間問題轉變為平面問題。

舉例分析

【例1】試求直線KL與△ABC平面的傾角(圖2(a)) 。

圖2（a）求直線與平面的傾角

圖2(b)求直線與平面的傾角

分析：如圖3所示，求直線KL與平面P的夾角，可自直線上任一點K，向平面P作垂線KM，設垂線KM與已知直線KL的夾角為，則其餘角就是直線KL與平面P的夾角。

圖3 求直線與平面的傾角分析

作圖步驟(圖2(b))：

(1)自K點向△ABC引垂線KM；

(2)在KM上取一點M，使LM為水平線，連線L、M兩點；

(3)求△KLM的實形k'L₁M₂，則∠L₁k'M₂為KL與KM的夾角；

(4) KL與KM夾角的餘角，即為所求。

【例1】在定圓內求作等腰三角形，使其底為定圓的一弦，頂點為一定點，腰與底之比為一定比。

已知 一定圓O、一已知點A及二比例線m、n。

求作 等腰△ABC，其底為弦BC，頂點為已知A點，且BC:AB =m:n。

圖4

分析 設圖已成。因等腰三角形的腰和底的比一定，則其相似三角形可定，故本題可簡化為:先在適當位置作一相似等腰三角形，再作出需求的等腰三角形，從而定出弦BC的位置。這一作圖問題是容易解決的。

作BC邊上的高AD，因AD垂直平分BC，知AD必過O點,因此可在過A點的直徑上先作相似等腰三角形△A'B'C'，再由A點作對應邊的平行線，即可確定B、C二點。

作法 (1)過A點作直徑EF；以EF為底邊的高線作等腰三角形△A'B'C'，使B'C'=m、 A'B'= A'C'=n。

(2)過A點分別作A'B'、A'C’的平行線，交圓O於B、C二點，連BC，弦BC即為所求。

證明 據作圖，等腰三角形△A'B'C'底邊B'C'的高作在直徑EF上，又知AB// A'B'、AC// A'C’,可知∠A=∠A'、 ∠BAF=∠CAF，則知AB=AC (證明從略)，△ABC是等腰三角形;在兩個等腰三角形△ABC和△A'B'C'中，因知一角相等∠A=∠A',必為兩個相似三角形， 即△ABC∽△A'B'C'，則知

BC:AB= B'C':A'B'= m:n。

弦BC符合作圖要求。

討論本題的解數決定於A點的位置，可分如下三種情況:

(1)當A點落在圓內時，有兩解；

(2)當A點落在圓上時，有一解;

(3) 當A點落在圓外時，為了便於討論，設∠A'=α,設A點對圓O的視角為β,其解數又可分為以下三種情況:

①若β>α,有兩解;

②若β=α，有一解;

⑧若β<α，無解。