《譜係數方法的計算及其在求解高振盪積分方程中的套用》是依託華中科技大學，由王海永擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：譜係數方法的計算及其在求解高振盪積分方程中的套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：王海永
- 依託單位：華中科技大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
正交譜展開如Chebyshev、Legendre和Jacobi等廣泛的套用在計算數學,尤其是在偏微分方程數值解領域。譜展開的套用中要求能夠快速精確的計算譜展開係數，這是目前譜方法研究的一個熱點課題。本項目將以解析函式的譜展開係數的計算作為研究目標，通過擴展譜係數的定義到複平面上，探索兩種不同的計算思路。第一種思路是譜係數的高精度計算,研究建立譜係數相對誤差極小化的算法。第二種思路是譜係數的基於FFT實現的高效率計算，尤其是建立計算前N個Jacobi係數的O(NlogN)次複雜性的快速算法。以此為基礎，討論譜係數方法在計算含有高振盪核的第一類Volterra積分方程中的套用。課題的關於Jacobi係數計算的結果將解決國際頂級數值分析專家Arieh Iserles提出的一個公開難題。
結題摘要
多項式譜方法如Chebyshev、Legendre以及Gegenbauer、Jacobi譜方法等廣泛的用於逼近論、數值積分、偏微分方程數值解等不同的領域，它的主要優勢在於收斂速率與函式的光滑性密切相關。對於充分光滑的函式，則多項式譜方法可以使用比較少的逼近項數達到的預先設定的精度。 本項目主要研究多項式譜方法的逼近理論分析和快速算法，取得的主要結果如下： （1）提出一種新的方法得出Gegenbauer展開係數的路徑積分式，建立Gegenbauer展開係數的最優衰減速率估計，並對比Chebyshev和Legendre展開係數的衰減速率； （2）分析了Chebyshev展開係數的計算穩定性，證明了每個Chebyshev展開係數在複平面上都存在一個最優的路徑使得該係數的相對誤差最小，因而基於最優路徑能夠高精度的計算Chebyshev展開係數； （3）研究了Jacobi與Chebyshev展開係數的轉化，提出了一種基於重組Chebyshev係數來計算Jacobi係數的兩類算法。第一類算法是基於使用固定的路徑來計算所有的Chebyshev係數，計算過程可以由FFT快速實現，並且關於絕對誤差能夠達到高精度。第二類算法是基於使用最優路徑計算每個Chebyshev係數，因而Jacobi展開係數可以達到相對誤差的高精度。 以上的這些研究結果有助於理解多項式譜方法的理論。例如對於基於Chebyshev和Legendre展開的譜方法，當函式的奇異點在區間外部時，則Chebyshev譜方法將比Legendre譜方法快O(N^{-1/2})倍，這裡N是兩種譜方法的項數。
