《調和函式水平集的幾何性質》是依託蘭州大學，由張偉擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：調和函式水平集的幾何性質
- 依託單位：蘭州大學
- 項目負責人：張偉
- 項目類別：青年科學基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
調和函式是一類非常重要而又相當特殊的函式，通過研究調和函式往往能夠為理解一般的橢圓偏微分方程提供新的看法與技術。本項目主要關心調和函式水平集的局部幾何性質，即調和函式的指定的某個水平集的幾何性質。希望解決的關鍵科學問題是：（1）單位圓盤上調和函式過原點的水平線在原點處曲率的最佳上界估計；（2）維數＞=3時單位球上調和函式過原點的水平集在原點處曲率的上界估計；（3）單位圓盤上調和函式過原點的水平線長度的絕對上界估計。
結題摘要
Laplace方程是最重要的橢圓型偏微分方程, 而調和函式作為Laplace方程的解, 無論在分析上, 還是幾何上都有著基本的重要性. 本項目的主要研究內容是調和函式水平集的幾何性質. 具體來說, 我們主要得到了下面幾方面的結果: (1) 對於定義在二維Riemann空間形式環形區域上的調和函式, 得到了其水平線的曲率估計; (2) 考慮圖上的Laplace-Beltrami運算元, 這時圖上的調和函式恰好是Riemann空間形式中的極小曲面方程的解, 同樣也可以得到這時極小曲面水平線的曲率估計; (3) 對於n維歐氏空間中的凸區域上的1-Laplace運算元, 簡潔地證明了1-Torsion函式是凹函式; (4) 對於n為歐氏空間中環形區域上的1-調和函式, 證明了所有的水平集均為凸曲面; (5) 證明了凸區域上1-torsion函式的邊界導數估計.
