《解析技術在阿蒂亞-辛格指標理論中的套用》是依託中國科學技術大學，由俞建青擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：解析技術在阿蒂亞-辛格指標理論中的套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：俞建青
- 依託單位：中國科學技術大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
在這個研究項目中，解析技術將被用於阿蒂亞-辛格指標理論中兩個深受關注的課題解析撓率、橢圓虧格的研究。我們將研究帶奇性的空間上的解析撓率，其目的是在這類空間上尋找一個齊格-慕勒型定理。如同閉流形上著名的齊格-慕勒定理給出了經典的雷德梅斯特撓率（第一個同胚不變數但不是同倫不變數）的一個解析理解，帶奇性空間上的這種類似定理也會加深我們理解該空間上的幾何和拓撲的關係。另一方面，閉流形上橢圓虧格中的威騰剛性定理已經被充分地研究，並由此得到了一系列消失定理。 我們打算研究葉狀結構及帶正截面曲率的閉自旋流形上的消失定理，其目的是探尋由橢圓虧格所引起的相應幾何結構的一些拓撲障礙。
結題摘要
本項目旨在研究微分幾何與流形上的整體分析領域中的Atiyah-Singer指標理論及其幾何套用，主要研究內容涉及解析撓率、橢圓虧格、高維譜流、正數量曲率障礙等論題。我們推廣了Gorokhovsky-Lesch的譜流公式到運算元族情形，即對以某個偶數維帶邊流形為纖維的纖維化上的帶局部邊界條件的Dirac運算元族，證明該運算元族的高維譜流只跟運算元族對應的邊界運算元族有關，與運算元族在纖維化的流形族內部的性態無關。特別地，作為推論，得到高維譜流K理論意義下的配邊不變性。與韓飛合作，我們在奇數維的閉流形上，對twisted Toeplitz運算元定義了橢圓虧格，並且建立了一系列Witten型的剛性定理以及消失定理。 除套用偶數維橢圓虧格以及Witten剛性定理已有的方法外，我們對奇數陳省身特徵的分析是全新的。特別地，我們發現了與已知的偶數維情形完全不同的現象：在奇數維情形，流形的基本群在Witten剛性現象中起了關鍵的作用。與申述合作，我們對平坦 orbifold 向量叢進行了研究，把流形情形的一系列經典結果推廣到 orbifold 情形。特別地，對閉 orbifold 上的 Ray-Singer 解析撓率建立Bismut-Zhang 型 Anomaly 公式。當底 orbifold 是緊的可約化型局部對稱空間時，我們證明非循環酉平坦orbifold向量叢的解析撓率與動力系統意義下的zeta函式在零點的取值是相等的，推廣了已有的局部對稱流形的結果。與張偉平合作，我們把張偉平在葉狀流形上正數量曲率障礙方面的最新工作以及Connes發展的fibration構造，套用到閉流形上Gromov-Lawson關於高階A -虧格消失是正數量曲率障礙的著名猜想的研究中。我們的主要定理把經典的Lichnerowicz 消失定理推廣到帶有一個平坦叢的情形。特別地，給出了Gromov-Lawson猜想成立的一個非平凡例子。
