最簡單的二階線性微分方程，它有一個轉折點，在這一點函式由周期性的振動轉變為指數增長（或衰減）。
基本介紹
- 中文名：艾里方程式
- 外文名：Ai(x)
基本內容,定義,性質,自變數為複數時的情形,與其它函式的關係,
基本內容
艾里函式（Ai(x)），英國英格蘭天文學家、數學家喬治·比德爾·艾里命名的特殊函式，他在1838年研究光學的時候遇到了這個函式。Ai(x)的記法是Harold Jeffreys引進的。Ai(x)與相關函式Bi(x)（也稱為艾里函式），是以下微分方程的解：
y''=xy
這個方程稱為艾里方程或斯托克斯方程。這是最簡單的二階線性微分方程，它有一個轉折點，在這一點函式由周期性的振動轉變為指數增長（或衰減）。
定義
對於實數x，艾里函式由以下的積分定義：艾里函式圖像Ai(x)=1/π*∫cos(t^3/3+xt) dt (0~+∞)把:y = Ai(x)求導，我們可以發現它滿足以下的微分方程：
y''=xy
因為這個方程有兩個線性獨立的解，所以，第二個解成為“第二艾里函式”。它定義為當x趨於−∞時，振幅與Ai(x)相等，但相位與Ai(x)相差π/2的函式：
Bi(x)=1/π*∫e^(-t^3/3+xt)+sin(t^3/3+xt) dt (0~+∞)
性質
當x趨於+∞時，艾里函式的漸近表現為：
Ai(x)~e^(-2/3*x^(3/2))/(2sqr(π)x^(1/4))
Bi(x)~e^(2/3*x^(3/2))/(sqr(π)x^(1/4))
而對於負數方向的極限，則有：
Ai(-x)~sin(2/3*x^(3/2)+π/4)/(sqr(π)x^(1/4))
Bi(-x)~cos(2/3*x^(3/2)+π/4)/(sqr(π)x^(1/4))
自變數為複數時的情形
我們可以把艾里函式的定義擴展到整個複平面：
Ai(z)=1/(2πi)*∫e^(t^3/3+zt) dt (C~∞)
其中積分路徑C從輻角為-(1/3)π的無窮遠處的點開始，在輻角為(1/3)π的無窮遠處的點結束。此外，我們也可以用微分方程y'' − xy = 0來把Ai(x)和Bi(x)延拓為複平面上的整函式。
以上Ai(x)的漸近公式在複平面上也是正確的，如果取主值為x^(2/3)，且x不在負的實數軸上。Bi(x)的公式也是正確的，只要x位於扇形{x∈C : |arg x| < (1/3)π−δ}內，對於某個正數δ。最後，Ai(−x)和Bi(−x)是正確的，如果x位於扇形{x∈C : |arg x| < (2/3)π−δ}內。
從艾里函式的漸近表現可以推出，Ai(x)和Bi(x)在負的實數軸上都有無窮多個零點。Ai(x)在複平面內沒有其它零點，而Bi(x)在扇形{z∈C : (1/3)π < |arg z| < (1/2)π}內還有無窮多個零點。
與其它函式的關係
當自變數是正數時，艾里函式與變形貝塞爾函式之間有以下的關係：艾里函式與變形貝塞爾函式的關係--
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在這裡，I±1/3和K1/3是方程x^2*y'' + xy' − (x^2 + 1 / 9)y = 0的解。
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當自變數是負數時，艾里函式與貝塞爾函式之間有以下的關係：艾里函式與貝塞爾函式的關係--
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在這裡，J±1/3是方程x^2*y'' + xy' + (x^2 − 1 / 9)y = 0的解。
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Scorer函式是y'' − xy = 1/π的解，它也可以用艾里函式來表示：Score函式
