《自由費米子在數學物理中的一些套用》是依託首都師範大學，由楊潔擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：自由費米子在數學物理中的一些套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：楊潔
- 依託單位：首都師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究近年來廣泛受到關注的拓撲弦與N=2規範理論的對偶問題。我們將通過自由費米子的方法計算兩個理論的配分函式、wall-crossing問題、以及從代數和範疇化的方法來研究其中包含的對稱性。我們可以用自由費米子頂點運算元的無窮乘積來計算拓撲頂點，從而給出拓撲弦在toric Calabi-Yau流形中振幅的結果。根據自由費米子與2維規範理論的對應，我們還要將費米子方法推廣到4維N=2規範理論的配分函式的計算。當兩個理論分別推廣到精細拓撲弦和Nekrasov公式時，我們要將自由費米子作為工具研究它們。由於兩個理論都具有N=2的模空間，我們可以用自由費米子來研究模空間的wall-crossing現象。根據玻色-費米對應，問題可以轉化為玻色子的Heisenberg代數與規範群代數的關係，而且可以提升到範疇的層面上，即從Heisenberg代數範疇化來研究這種對偶性存在的根源。
結題摘要
頂點運算元被套用於計算許多物理理論中,與配分函式和關聯函式的計算有關。Okounkov，Reshetikhin與Vafa用它實現了MacMahon函式與Schur對稱函式。這些函式被用於構造拓撲弦理論中的拓撲頂點。我們推廣了這些頂點運算元，構造了一系列運算元，給出Macdonald函式，skew Macdonald函式的運算元表示。而這些函式可用於計算精細拓撲頂點，Nekrasov配分函式等。頂點運算元是通過Heisenberg代數生成元實現的，由於玻色-費米對應，費米子也可以被囊括進這個構造中。有時費米子更容易作用於物理態上，例如楊圖態上。因此自由費米子在構造許多Fock模的時候非常有效。除了Heisenberg代數，我們還考慮了一些量子代數，例如橢圓丁-庵原代數的表示，計算頂點運算元在這些表示上的作用。我們還發現許多物理體系的哈密爾頓量可以用成對的費米子來實現。在證明可積性時，它們可以簡化很多運算。我們用自由費米子來研究一些凝聚態物理中出現的Calogero-Sutherland、Laughlin與Halperin體系。 範疇化的研究可以把一些不同的系統統一起來。以前我們知道對稱函式非常有用，它刻畫了一些物理理論的對稱性和不變數。通過研究範疇理論，把Heisenberg代數提升成為一個2-範疇。頂點運算元的指數展開的生成元用這個2-範疇的1-態射表示，把楊圖態對應成為2-範疇的對象，代數關係式變成等價關係。因此我們研究了Heisenberg代數的範疇化。並發現對次數為0的2-態射的個數計數，即得到MacMahon函式。
