線性運算元擾動理論是研究運算元在微小變動的情況下，它的各種性質變化的一種理論。線性運算元擾動理論的基本問題是：設T是巴拿赫空間上的線性運算元，A是擾動運算元，當T+A和T在某種意義下很接近時，如何由T的性質導出T+A的相應性質?
基本介紹
- 中文名：線性運算元擾動理論
- 提出時間：20世紀20年代
- 適用領域範圍：振動系統受到微小擾動後的情況
- 方法：微擾法
- 領域：數學
- 空間：巴拿赫空間
簡介,詳細內容,線性運算元,巴拿赫空間,
簡介
線性運算元擾動理論是研究運算元在微小變動的情況下，它的各種性質變化的一種理論。線性運算元擾動理論的基本問題是：設T是巴拿赫空間上的線性運算元，A是擾動運算元，當T+A和T在某種意義下很接近時，如何由T的性質導出T+A的相應性質?擾動理論主要包括以下幾方面的內容：
1.討論某些重要的運算元類(例如閉運算元類、弗雷德霍姆運算元類等)在擾動下的不變性。
2.研究在小擾動下，對應的特徵值和特徵向量的變化情況。
3.研究運算元經過擾動以後，它的譜的變化情況。
詳細內容
為了研究振動系統受到微小擾動後的情況，人們利用反映擾動前系統的較簡單的線性運算元特徵值問題的解，求出了反映經過擾動後運算元特徵值問題的近似解。E.薛丁格發展了類似的方法，深入地研究了量子力學中遇到的特徵值問題，這就是量子力學中的微擾法。其後，一些數學家對這些微擾法中出現的級數的收斂性進行了一系列研究。與此同時，還研究了對於散射理論和量子場論有重要意義的連續譜的擾動。他們的工作啟示人們進一步考察無界線性運算元的各種擾動問題。線性運算元擾動理論已發展為運算元理論中引人矚目的一個重要分支。
線性運算元擾動理論的基本問題是:設T是巴拿赫空間上的線性運算元，A是擾動運算元，當T+A和T在某種意義下很接近時，如何由T的性質導出T+A的相應性質？擾動理論中大量出現的是無界運算元，這是因為經典力學和量子力學中出現的運算元常常是無界的。薛丁格方程中出現的運算元就是無界運算元經過位勢項U(x)擾動後得到的。
擾動理論主要包括以下幾個方面的內容。①討論某些重要的運算元類（例如閉運算元類、自共軛運算元類、弗雷德霍姆運算元類等）在擾動下的不變性。關於閉運算元的擾動，有下面的概念和結果：設T，A是巴拿赫空間x到Y的兩個線性運算元，存在α，b≥0，使得對x∈D(T)，成立‖Ax‖≤α‖x‖+b‖Tx‖，則稱A關於T是相對有界的，而滿足上式的b)的下確界稱為A關於T的相對界。又若當{xn}和{Txn}均為有界時，{Axn}必有收斂子序列，則稱A關於T是相對緊的。如果T是閉運算元，而A關於T的相對界小於1，或者A關於T是相對緊的，而T+A也是閉運算元。②研究在小擾動下，對應的特徵值和特徵向量的擾動情況。這方面有下述基本結果:當T為巴拿赫空間上一個有界線性運算元，而μ0為T的孤立的有限重特徵值，它的重數是m，那么對ε>0，存在δ>0，使得當擾動運算元A的範數小於δ時，運算元T+A在圓{μ||μ-μ0|H是可分的希爾伯特空間，A是H上自共軛運算元。對ε>0，存在自共軛的希爾伯特－施密特運算元S，‖S‖2A+S僅有純點譜（指特徵向量張成閉線性子空間是全空間）。
類似的結果，對正常運算元也成立。另外，研究運算元半群的生成元經過小擾動後，運算元半群性態的變化，也是擾動理論的一個課題。
線性運算元擾動理論的基本問題是:設T是巴拿赫空間上的線性運算元，A是擾動運算元，當T+A和T在某種意義下很接近時，如何由T的性質導出T+A的相應性質？擾動理論中大量出現的是無界運算元，這是因為經典力學和量子力學中出現的運算元常常是無界的。薛丁格方程中出現的運算元就是無界運算元經過位勢項U(x)擾動後得到的。
擾動理論主要包括以下幾個方面的內容。①討論某些重要的運算元類（例如閉運算元類、自共軛運算元類、弗雷德霍姆運算元類等）在擾動下的不變性。關於閉運算元的擾動，有下面的概念和結果：設T，A是巴拿赫空間x到Y的兩個線性運算元，存在α，b≥0，使得對x∈D(T)，成立‖Ax‖≤α‖x‖+b‖Tx‖，則稱A關於T是相對有界的，而滿足上式的b)的下確界稱為A關於T的相對界。又若當{xn}和{Txn}均為有界時，{Axn}必有收斂子序列，則稱A關於T是相對緊的。如果T是閉運算元，而A關於T的相對界小於1，或者A關於T是相對緊的，而T+A也是閉運算元。②研究在小擾動下，對應的特徵值和特徵向量的擾動情況。這方面有下述基本結果:當T為巴拿赫空間上一個有界線性運算元，而μ0為T的孤立的有限重特徵值，它的重數是m，那么對ε>0，存在δ>0，使得當擾動運算元A的範數小於δ時，運算元T+A在圓{μ||μ-μ0|H是可分的希爾伯特空間，A是H上自共軛運算元。對ε>0，存在自共軛的希爾伯特－施密特運算元S，‖S‖2A+S僅有純點譜（指特徵向量張成閉線性子空間是全空間）。
類似的結果，對正常運算元也成立。另外，研究運算元半群的生成元經過小擾動後，運算元半群性態的變化，也是擾動理論的一個課題。
線性運算元
線性空間之間保持線性運算的映射。設X，Y同是數域K上的線性空間，D是X的線性子空間，T是從D到Y中的映射。如果對每個x，y∈D，有T(x+y)=Tx+Ty，則稱T是可加運算元；如果對每個x∈D和實數α有T(αx)=αTx，則稱T是實齊次的，如果對一切α∈K這個關係式都成立，則稱T是齊次運算元。如果T既是可加的又是齊次的，則稱T是線性運算元或線性映射，D稱為T的定義域，常記為D(T)。線性子空間R(T)={Tx|x∈D}稱為T的值域(或像域)。當D(T)=X時，稱T是X到Y的線性運算元。當R(T)=Y時，稱T為X到Y上的或滿值域的。特別地，當Y=K(或Y是一維線性空間)時，T稱為D上的線性泛函。線性泛函是線性運算元的特殊情形。
巴拿赫空間
完備的賦范線性空間被稱為巴拿赫空間，是泛函分析研究的基本內容之一。
20世紀以來，當人們研究了許多具體的無限維空間及其上面相應的收斂性以後，自然而然地轉向抽象形態的線性空間以及按範數收斂的概念。德國數學家希爾伯特、法國數學家弗雷歇和匈牙利數學家裡斯在1904—1918年間所引入的函式空間是建立巴拿赫空間理論的基礎。在這些空間裡，強收斂、弱收斂、緊性、線性泛函、線性運算元等基本概念已經得到初步研究。
1922—1923年，波蘭數學家巴拿赫、奧地利數學家哈恩和美國數學家N.維納等分別獨立地引入了賦范線性空間的概念，並以巴拿赫的姓氏來命名。1922年，巴拿赫開始根據他所引入的公理來系統研究已有的函式空間，得到深刻的結果;同一年，哈恩從當時分析數學的許多成果中提煉出共鳴定理;1922—1923年巴拿赫得到壓縮映射的不動點定理、開映射定理。1927年和1929年哈恩和巴拿赫先後證明了完備賦范空間上泛函延拓定理，引入了賦范線性空間的對偶空間(當時稱之為極空間)，這個定理的推廣形式後來在局部凸拓撲線性空間理論中起了重要作用。1931年，巴拿赫寫成《線性運算元理論》。至此，完備賦范線性空間理論的獨立體系已基本形成，並且在不到十年的時間內便發展成本身相當完整而又有多方面套用的理論。
